Γεωμετρικός Τόπος!

Ορέστης Λιγνός · #1

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

και μεταβλητό σημείο

πάνω στην

.

Έστω

τα περίκεντρα των τριγώνων $ADB, \,ADC$ αντίστοιχα.

Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος του περικέντρου του τριγώνου AO_1O_2

.

: Orestis.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Υ.Γ. Φραγή στον Doloros γιατί πρώτον, τώρα που μπήκε η άνοιξη, δεν έχει χρόνο γιατί πρέπει να κλαδέψει τα αμπελοχώραφά του, και δεύτερον, έχει λύση την άσκηση κάπου αλλού ...

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και μεταβλητό σημείο πάνω στην .
Έστω τα περίκεντρα των τριγώνων $ADB, \,ADC$ αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος του περικέντρου του τριγώνου .
Orestis.png
Υ.Γ. Φραγή στον Doloros γιατί πρώτον, τώρα που μπήκε η άνοιξη, δεν έχει χρόνο γιατί πρέπει να κλαδέψει τα αμπελοχώραφά του, και δεύτερον, έχει λύση την άσκηση κάπου αλλού ...

Επειδή δεν βλέπω "φως" Ορέστη ας "ορμίξω" μιας και είμαι ελεύθερος από Φραγκάκη μεριά.

Έστω $\left( K \right)$ ο περίκυκλος του $\vartriangle ABC$ . Τότε $\angle {O_1}AD = \angle KAC\mathop = \limits^{\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \varsigma \, - \,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma } {90^0} - \angle B = ct \Rightarrow$ $\boxed{\angle DAC = \angle {O_1}AK}:\left( 1 \right)$ .
[attachment=0]Γεωμετρικός τόπος.png[/attachment]
Είναι ${{O}_{1}}{{O}_{2}}\underset{\mu \varepsilon \sigma o}{\mathop{\bot }}\,AD\,\,\And \,\,K{{O}_{2}}\underset{\mu \varepsilon \sigma o}{\mathop{\bot }}\,AC$ (διάκεντροι μεσοκάθετες στις κοινές χορδές κύκλων) και άρα $A,N,M,{{O}_{2}}$ ομοκυκλικά

(με $N\equiv AD\cap {{O}_{1}}{{O}_{2}}\,\,\And \,\,M\equiv AC\cap K{{O}_{2}}$ ), οπότε $\angle {O_1}{O_2}K \equiv \angle N{O_2}K = \angle NAM \equiv$ $\angle DAC\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \angle {O_1}AK \Rightarrow A,{O_1},K,{O_2}$

σημεία του κύκλο $\left( O \right)$ και συνεπώς το είναι σημείο της μεσοκαθέτου της σταθερής ακτίνας του σταθερού περίκυκλου $\left( K \right)$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

* Είναι προφανές ότι αν το είναι σημείο της ο γεωμετρικός τόπος είναι ευθύγραμμο τμήμα της μεσοκαθέτου της με άκρα τα σημεία που τον ορίζονται για θέσεις $D\equiv B,D\equiv C$ , (εκφυλισμός του ενος εκ των δύο τριγώνων) ενώ σε διαφορετική περίπτωση αν το κινείται επί της ευθείας τότε ο γ.τ είναι η μεσοκάθετη της .

Στάθης

Ορέστης Λιγνός · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και μεταβλητό σημείο πάνω στην .
Έστω τα περίκεντρα των τριγώνων $ADB, \,ADC$ αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος του περικέντρου του τριγώνου .
Orestis.png
Υ.Γ. Φραγή στον Doloros γιατί πρώτον, τώρα που μπήκε η άνοιξη, δεν έχει χρόνο γιατί πρέπει να κλαδέψει τα αμπελοχώραφά του, και δεύτερον, έχει λύση την άσκηση κάπου αλλού ...
Επειδή δεν βλέπω "φως" Ορέστη ας "ορμίξω" μιας και είμαι ελεύθερος από Φραγκάκη μεριά.

Έστω $\left( K \right)$ ο περίκυκλος του $\vartriangle ABC$ . Τότε $\angle {O_1}AD = \angle KAC\mathop = \limits^{\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \varsigma \, - \,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma } {90^0} - \angle B = ct \Rightarrow$ $\boxed{\angle DAC = \angle {O_1}AK}:\left( 1 \right)$ .
[attachment=0]Γεωμετρικός τόπος.png[/attachment]
Είναι ${{O}_{1}}{{O}_{2}}\underset{\mu \varepsilon \sigma o}{\mathop{\bot }}\,AD\,\,\And \,\,K{{O}_{2}}\underset{\mu \varepsilon \sigma o}{\mathop{\bot }}\,AC$ (διάκεντροι μεσοκάθετες στις κοινές χορδές κύκλων) και άρα $A,N,M,{{O}_{2}}$ ομοκυκλικά

(με $N\equiv AD\cap {{O}_{1}}{{O}_{2}}\,\,\And \,\,M\equiv AC\cap K{{O}_{2}}$ ), οπότε $\angle {O_1}{O_2}K \equiv \angle N{O_2}K = \angle NAM \equiv$ $\angle DAC\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \angle {O_1}AK \Rightarrow A,{O_1},K,{O_2}$

σημεία του κύκλο $\left( O \right)$ και συνεπώς το είναι σημείο της μεσοκαθέτου της σταθερής ακτίνας του σταθερού περίκυκλου $\left( K \right)$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

* Είναι προφανές ότι αν το είναι σημείο της ο γεωμετρικός τόπος είναι ευθύγραμμο τμήμα της μεσοκαθέτου της με άκρα τα σημεία που τον ορίζονται για θέσεις $D\equiv B,D\equiv C$ , (εκφυλισμός του ενος εκ των δύο τριγώνων) ενώ σε διαφορετική περίπτωση αν το κινείται επί της ευθείας τότε ο γ.τ είναι η μεσοκάθετη της .

Στάθης

Όρμησε και τα διέλυσε όλα ο ταύρος!

Γεωμετρικός Τόπος!

Γεωμετρικός Τόπος!

Re: Γεωμετρικός Τόπος!

Re: Γεωμετρικός Τόπος!

Μέλη σε σύνδεση