Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 444.png (6.09 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ με την διαγώνιό του $A\Gamma$
να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν $E\equiv B\Gamma \cap A\Delta$ , $AB=2B\Gamma$ και
$A\Delta =3\Delta \Gamma$ , να δείξετε ότι το $\Gamma$ είναι μέσο της

.

KARKAR · #2

: TEO.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

Μία απλή λύση , αλλά με Άλγεβρα Β' , είναι η εξής : $tanA=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}3}}=1$

δηλαδή $\hat{A}=45^0$ , οπότε BE=2x

, ό. έ. δ.

Ιστοσελίδα · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ με την διαγώνιό του $A\Gamma$
να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν $E\equiv B\Gamma \cap A\Delta$ , $AB=2B\Gamma$ και
$A\Delta =3\Delta \Gamma$ , να δείξετε ότι το $\Gamma$ είναι μέσο της .

Καλημέρα.

: Εγγεγραμμένο-τετράπλευρο.png (21.59 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Από Π.Θ: ${y^2} + {(2y)^2}\mathop = \limits^{{\rm A}{\Gamma ^2}} {x^2} + {(3x)^2} \Leftrightarrow y = x\sqrt 2$

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta :$ ${\rm B}\Delta = x\sqrt 5$

και από νόμο συνημιτόνων στο $\triangleleft {\rm A}{\rm B}\Delta :\sigma \upsilon \nu \widehat {\rm A} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \widehat {\rm A} = {45^ \circ }$

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:444.png

Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ με την διαγώνιό του $A\Gamma$
να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν $E\equiv B\Gamma \cap A\Delta$ , $AB=2B\Gamma$ και
$A\Delta =3\Delta \Gamma$ , να δείξετε ότι το $\Gamma$ είναι μέσο της .

Καλημέρα σε όλους!

Έστω CD=x, CE=y

: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Από Π. Θ στα ADC, ABC:

$\displaystyle{10{x^2} = A{C^2} = 5B{C^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{BC=x\sqrt 2}$

$\displaystyle{ED \cdot EA = EC \cdot EB \Leftrightarrow 7{y^2} - 2xy\sqrt 2 - 10{x^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{y > 0} }$ $\boxed{y=x\sqrt 2}$

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ με την διαγώνιό του $A\Gamma$ να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν $E\equiv B\Gamma \cap A\Delta$ , $AB=2B\Gamma$ και $A\Delta =3\Delta \Gamma$ , να δείξετε ότι το $\Gamma$ είναι μέσο της .

Για μια καλημέρα στους εκλεκτούς φίλους (από τις μακρυνές Βρυξέλλες) που "φυλάνε Θερμοπύλες" στο ακόμα και στις γιορτές!!!

: 2.png (22.37 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Αν είναι οι ορθές προβολές των στην αντίστοιχα , τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα

$\vartriangle ABC,\vartriangle ADC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{CQ}}{{QA}} = \frac{{C{D^2}}}{{A{D^2}}} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{{CQ}}{{AC}} = \frac{1}{\begin{gathered} 10 \hfill \\ \end{gathered} } \\ \frac{{FC}}{{FA}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{CQ}}{{AC}} = \frac{1}{\begin{gathered} 5 \hfill \\ \end{gathered} } \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow Q$ το μέσο της και με $DQ\parallel BF$ (κάθετες στην ίδια ευθεία) θα είναι

$M\equiv DQ\cap BC$ το μέσο της $BC \Rightarrow OM \bot BC \Rightarrow OM\parallel AB \Rightarrow$ $\vartriangle OQM \sim \vartriangle ABC \Rightarrow OQ = 2MQ\mathop = \limits^{\vartriangle BCF} BF\mathop \Rightarrow \limits^{OD = OB = {R_o}}$

$\vartriangle OFB = \vartriangle OQD \Rightarrow \ldots OB \bot OD$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } \angle BAE = {45^0} \Rightarrow \ldots C$ το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#6

: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο _κατσκευή_1.png (17.1 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου

και κέντρου

θεωρώ σημείο

τέτοιο ώστε:

AB = 2BC

. Αν

το μέσο του

και η ευθεία

τέμνει , ακόμα, το ημικύκλιο

στο

, είναι φανερό ότι τα τρίγωνα $BMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PAM$ είναι ισοσκελή ορθογώνια .

Αν τώρα

το μέσο του

τα ορθογώνια τρίγωνα $KBM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PAM$ έχουν

MB = MA

και τις οξείες γωνίες τους στο

ίσες ( από $45^\circ$ ) και θα είναι ίσα οπότε :

KM = PM

με άμεση συνέπεια , $AP = PM = MK = KC\,\,(1)$

Γράφω τώρα το υπόλοιπο ημικύκλιο και έστω

το αντιδιαμετρικό του

.

: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο _κατσκευή_2.png (27.34 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

ΟΙ ευθείες $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο

τα ορθογώνια τρίγωνα $PAC\,\,DAC$ είναι

ίσα , οπότε AD = 3DC

, Επειδή δε MC//AE

και το

μέσο του

θα είναι και

το

μέσο του

, δηλαδή

.

Παρατήρηση : Η λύση πήρε μάκρος στην προσπάθεια μου να αποφύγω μετρικές

σχέσεις . Αλλά η αρχική κατασκευή ( π.χ. με κύκλο του Απολλώνιου ή αλλιώς)

απαιτεί σαφώς χρήση μετρικών σχέσεων για να τεκμηριωθεί .

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Μέλη σε σύνδεση