Tρία ισόπλευρα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους ..τελευταία προσωπική σύνθεση :

: 7-5-17 Tρία ισόπλευρα.PNG (8.51 KiB) Προβλήθηκε 1556 φορές

Τα τρίγωνα AOB,EOT

και

του σχήματος είναι ισόπλευρα.

Αν τα (AOB),(EOT)

και

(*) είναι ανάλογα των 1,3

και

αντιστοίχως , τότε να εξεταστεί αν

1) Τα σημεία A,B,E

είναι συνευθειακά και ... 2) Ο $p =\dfrac{\left ( AHTE \right )}{\left ( AOB \right )}$ είναι πρώτος αριθμός .

(*) Θεωρώντας ,αρχικά το ABET

ως τετράπλευρο.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Αν τα και

Εννοείτε εμβαδά;

Γιώργος Μήτσιος · #3

Kαλησπέρα Νικόλα ! Ακριβώς , συμβολίζουν τα αντίστοιχα εμβαδά ..

Φιλικά Γιώργος .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλησπέρα Νικόλα ! Ακριβώς , συμβολίζουν τα αντίστοιχα εμβαδά ..

Φιλικά Γιώργος .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Εδώ υπήρξε δημοσίευση μου μη Μαθηματικού περιεχομένου.
Την διέγραψα γιατί ο σκοπός της δεν υφίσταται πλέον.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα σε όλους.. Επανέρχομαι στο θέμα αφού οι ως άνω εμφανείς αναρτήσεις δεν απαντούν στα ερωτήματα ..
Φαίνεται ,προς το παρόν , δεν είχε και την καλύτερη τύχη..

Ας θέσω λοιπόν και νέα ζητούμενα με την προσδοκία να προσελκύσουν το ενδιαφέρον σας .

: 16-5-21Τρία ισόπλευρα.PNG (6.56 KiB) Προβλήθηκε 1329 φορές

Με τα δεδομένα της πρώτης ανάρτησης , να εξεταστεί επιπλέον αν

3) $BT\parallel OA$ ..4) Τα σημεία είναι επίσης συνευθειακά.. 5) και τέλος 6) Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( OTH \right )}{\left ( AHO \right )}$

Αν τα ερωτήματα -αρχικά και νέα - θεωρηθούν πολλά , μπορεί να απαντηθούν και ..

.. με δόσεις ,αλλά και από διάφορους ΛΥΤΕΣ !

Σας ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος

#7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Μάιος 07, 2017 1:16 am Καλή Κυριακή σε όλους ..τελευταία προσωπική σύνθεση :
7-5-17 Tρία ισόπλευρα.PNG

Τα τρίγωνα και του σχήματος είναι ισόπλευρα.

Αν τα και (*) είναι ανάλογα των και αντιστοίχως , τότε να εξεταστεί αν

1) Τα σημεία είναι συνευθειακά και ... 2) Ο $p =\dfrac{\left ( AHTE \right )}{\left ( AOB \right )}$ είναι πρώτος αριθμός .

(*) Θεωρώντας ,αρχικά το ως τετράπλευρο.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα σε όλους!

Κάλλιο αργά...παρά ποτέ!

: Τρία ισόπλευρα.α.png (10.21 KiB) Προβλήθηκε 1141 φορές

Αν

είναι η πλευρά του ισοπλεύρου AOB

τότε θα είναι $OT=a\sqrt 3$ και $(ABET)=a^2\sqrt 3.$

$\displaystyle (ABET) = (OAB) + (OTE) + (OBE) - (OAT) \Leftrightarrow {a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}(OBE) - (OAT) \Leftrightarrow$

$\displaystyle (OBE) = (OAT) \Leftrightarrow \sin ({120^0} + \theta ) = \sin \theta \Leftrightarrow \theta = {30^0}.$ Αλλά με νόμο συνημιτόνων βρίσκω

$\displaystyle BE = a \Leftrightarrow B\widehat EO = \theta = {30^0} \Leftrightarrow O\widehat BE = {120^0},$ απ' όπου προκύπτει ότι τα σημεία A,B,E

είναι συνευθειακά.

: Τρία ισόπλευρα.β.png (18.2 KiB) Προβλήθηκε 1141 φορές

Το

είναι ορθογώνιο και με Πυθαγόρειο βρίσκω $AT=a\sqrt 7.$

$\displaystyle \frac{{(AHTE)}}{{(AOB)}} = \frac{{(AHT) + (AET)}}{{(AOB)}} = \dfrac{{\dfrac{{7{a^2}\sqrt 3 }}{4} + {a^2}\sqrt 3 }}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{p=11}$ που είναι πρώτος.

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Μάιος 16, 2017 1:04 am
Με τα δεδομένα της πρώτης ανάρτησης , να εξεταστεί επιπλέον αν

3) $BT\parallel OA$ ..4) Τα σημεία είναι επίσης συνευθειακά.. 5) και τέλος 6) Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( OTH \right )}{\left ( AHO \right )}$

Το

είναι χαρταετός, οπότε $\displaystyle BT \bot OE.$ Αλλά, είναι και $OA\bot OE,$ άρα $\boxed{BT||OA}$

$\displaystyle A\widehat HT + A\widehat BT = {180^0},$ άρα το

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle H\widehat BT = H\widehat AT = {60^0}$ κι επειδή είναι και $\displaystyle O\widehat BT = {60^0}$

τα σημεία B,O,H

είναι συνευθειακά.

Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα BET, OHT

βρίσκω $\boxed{BT=OH=2a}$

$\displaystyle \frac{{(OTH)}}{{(AHO)}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{\frac{1}{2}a \cdot 2a\sin {{120}^0}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(OTH)}}{{(AHO)}} = 2}$

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλημέρα! Γιώργο σ' ευχαριστώ πολύ για την ''εκ βυθού ανάσυρση" του παρόντος ..
ασφαλώς ευπρόσδεκτη , συνάμα εντελώς απρόσμενη! Αυθόρμητο και το

για την -μια και έξω- κάλυψη όλων των ερωτημάτων !

Tρία ισόπλευρα

Tρία ισόπλευρα

Re: Tρία ισόπλευρα

Re: Tρία ισόπλευρα

Re: Tρία ισόπλευρα

Re: Tρία ισόπλευρα

Re: Tρία ισόπλευρα

Re: Tρία ισόπλευρα

Re: Tρία ισόπλευρα

Μέλη σε σύνδεση