Ανακλώμενη εφαπτομένη

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Ανακλώμενη εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Ιουν 05, 2017 10:41 pm

FB833=GEOMETRIA184.png
FB833=GEOMETRIA184.png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC, \hat{A}=90^o γράφουμε το τεταρτοκύκλιο με κέντρο A και ακτίνα το ύψος AD.

Από (κατάλληλο) σημειο P της υποτείνουσας BC φέρουμε εφαπτομένη στο τετατροκύκλιο που "ανακλώμενη¨σε σημείο S της AB επανατέμνει την BC στο Q.

Δείξτε οτι : BP\cdot DC= QD \cdot PC


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανακλώμενη εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 04, 2020 9:32 pm

sakis1963 έγραψε:
Δευ Ιουν 05, 2017 10:41 pm
FB833=GEOMETRIA184.png
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC, \hat{A}=90^o γράφουμε το τεταρτοκύκλιο με κέντρο A και ακτίνα το ύψος AD.

Από (κατάλληλο) σημειο P της υποτείνουσας BC φέρουμε εφαπτομένη στο τετατροκύκλιο που "ανακλώμενη¨σε σημείο S της AB επανατέμνει την BC στο Q.

Δείξτε οτι : BP\cdot DC= QD \cdot PC
Καλησπέρα!


295.PNG
295.PNG (51.37 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
\rm BP\cdot DC=QD\cdot PC\Leftrightarrow \dfrac{PB}{PC}=\dfrac{DQ}{DC}.Άρα αν από το \rm P φέρω κάθετη \rm PT στην \rm AC τότε λόγω Θαλή αρκεί να δείξω ότι \rm TD \parallel AQ.
Έστω \rm F\equiv BC\cap \left ( A,S,Q \right ).Είναι \rm \angle AFQ=\angle BSQ=\angle PSA,\angle FPA=\angle APS άρα η \rm AP είναι μεσοκάθετη του \rm FS.
Έστω \rm PL διχοτόμος της \rm \angle SPB.Είναι \rm \angle SFP=\angle PSF\Leftrightarrow \angle SPB=2\angle SFP\Leftrightarrow SF\parallel PL.
Άρα \rm \angle APL=90^{\circ} και \rm \angle LPB=\angle SFQ=\angle LAQ .
Αυτό σημαίνει \rm 90^{\circ}-\angle LPB=90^{\circ}-\angle BAQ\Leftrightarrow \angle CPA=\angle QAC\Leftrightarrow \angle DTC=\angle QAC\Leftrightarrow TD\parallel AQ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες