Ανισοι λόγοι για μια ταυτότητα

sakis1963 · #1

: FB837=GEO185.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

Εστω

σημείο της διαμέσου

, τριγώνου ABC

, που τη διαιρεί σε λόγο $\dfrac{n}{m}=\dfrac{NM}{NA}$ .

Δείξτε ότι για οποιαδήποτε τέμνουσα διερχόμενη από το

και έχουσα τα άκρα της P, Q

στις πλευρές AB, AC

αντίστοιχα, ισχύει : $\dfrac{PB}{PA}+\dfrac{QC}{QA}=2 \dfrac{n}{m}$

Παρατηρήσεις :

α. Η παρούσα αποτελεί γενίκευση παλιότερης άσκησης του Θανάση (KARKAR) και μπορεί να φανεί χρήσιμη, σαν λήμμα, στην λύση άλλων ασκήσεων.

β. Επειδή τα PB, QC

είναι στον αριθμητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τέμνουσες που διέρχονται από τα

ή

γ. Ενα παράδειγμα εφαρμογής είναι αυτή

#2

sakis1963 έγραψε:FB837=GEO185.png
Εστω σημείο της διαμέσου , τριγώνου , που τη διαιρεί σε λόγο $\dfrac{n}{m}=\dfrac{NM}{NA}$ .

Δείξτε ότι για οποιαδήποτε τέμνουσα διερχόμενη από το και έχουσα τα άκρα της στις πλευρές αντίστοιχα, ισχύει : $\dfrac{PB}{PA}+\dfrac{QC}{QA}=2 \dfrac{n}{m}$

Παρατηρήσεις :

α. Η παρούσα αποτελεί γενίκευση παλιότερης άσκησης του Θανάση (KARKAR) και μπορεί να φανεί χρήσιμη, σαν λήμμα, στην λύση άλλων ασκήσεων.

β. Επειδή τα είναι στον αριθμητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τέμνουσες που διέρχονται από τα ή

γ. Ενα παράδειγμα εφαρμογής είναι αυτή

Καλημέρα Σάκη!

: Άνισοι λόγοι-Sakis.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει τις AB, AC

στα

αντίστοιχα και έστω BH||AC.

Προφανώς,

και από τα όμοια τρίγωνα BEH, APQ,

είναι: $\displaystyle{\frac{{PA}}{{QA}} = \frac{{EB}}{{BH}} = \frac{{EB}}{{FC}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{FC}}{{QA}} = \frac{{EB}}{{PA}}}$ (1)

$\displaystyle{\frac{{EP}}{{PA}} + \frac{{FQ}}{{QA}} = \frac{{2n}}{m} \Leftrightarrow \frac{{EB}}{{PA}} + \frac{{BP}}{{PA}} + \frac{{CQ}}{{QA}} - \frac{{FC}}{{QA}} = \frac{{2n}}{m}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{\frac{{BP}}{{PA}} + \frac{{CQ}}{{QA}} = \frac{{2n}}{m}}$

Ανισοι λόγοι για μια ταυτότητα

Ανισοι λόγοι για μια ταυτότητα

Re: Ανισοι λόγοι για μια ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση