Κορυφές σε δύο κύκλους

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κορυφές σε δύο κύκλους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 11, 2017 7:28 pm

Έστω κύκλος (O,6) και σημείο του K. Γράφω νέο κύκλο (K,r) που τέμνει τον

προηγούμενο στα A\,\,,D. Τέμνουσα διερχόμενη από το D τέμνει τον κύκλο (K,r)

στο B και τον κύκλο (O,6) στο C. Αν DB = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 7 να υπολογιστούν οι

πλευρές του \vartriangle ABC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9191
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κορυφές σε δύο κύκλους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 24, 2017 10:51 am

Doloros έγραψε:Έστω κύκλος (O,6) και σημείο του K. Γράφω νέο κύκλο (K,r) που τέμνει τον

προηγούμενο στα A\,\,,D. Τέμνουσα διερχόμενη από το D τέμνει τον κύκλο (K,r)

στο B και τον κύκλο (O,6) στο C. Αν DB = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 7 να υπολογιστούν οι

πλευρές του \vartriangle ABC.
Για να μη μείνει αναπάντητη.

Αν τα σημεία D, C είναι εκατέρωθεν του B.
Κορυφές σε δύο κύκλους.png
Κορυφές σε δύο κύκλους.png (30.15 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές
\displaystyle{A\widehat BD = {180^0} - \frac{{A\widehat KD}}{2} = {180^0} - O\widehat KD = {180^0} - \left( {{{90}^0} - \frac{\varphi }{2}} \right) = {90^0} + \frac{\varphi }{2}} κι επειδή η CK είναι διχοτόμος

της A\widehat CD, το τρίγωνο CAB είναι ισοσκελές, άρα \boxed{AC=BC=3}

\displaystyle{CB \cdot CD = C{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow } \boxed{CK^2=r^2+21} (1) και από τα όμοια τρίγωνα CAB, OKD είναι \boxed{AB=\frac{r}{2}} (2)

Με νόμο συνημιτόνων στο ACK, από την (1) και από \displaystyle{\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{r}{{12}} \Rightarrow \cos \frac{\varphi }{2} = \frac{{\sqrt {144 - {r^2}} }}{{12}}} καταλήγω στην εξίσωση:

\displaystyle{{r^4} - 123{r^2} + 576 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{r > 0} r = \sqrt {\frac{{123 \pm 15\sqrt {57} }}{2}} } και από τη (2) φαίνεται ότι έχουμε δύο τρίγωνα που επαληθεύουν

τα δεδομένα του προβλήματος με \boxed{AB = \sqrt {\frac{{123 - 15\sqrt {57} }}{8}} } ή \boxed{AB = \sqrt {\frac{{123 + 15\sqrt {57} }}{8}} }


Στο πάνω σχήμα φαίνεται η πρώτη περίπτωση, ενώ στο κάτω η δεύτερη.
Κορυφές σε δύο κύκλους.b.png
Κορυφές σε δύο κύκλους.b.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές
Υπάρχει άλλη μία περίπτωση όταν τα B, C είναι εκατέρωθεν του D. Θα επανέλθω σε επόμενη ανάρτηση...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9191
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κορυφές σε δύο κύκλους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 24, 2017 4:46 pm

Αν τα σημεία B, C είναι εκατέρωθεν του D, τότε έχουμε τα παρακάτω σχήματα.
Κορυφές σε δύο κύκλους.c.png
Κορυφές σε δύο κύκλους.c.png (36.81 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Εργαζόμενοι όπως και προηγουμένως βρίσκουμε ότι \boxed{AC=BC=11}, από την ομοιότητα των τριγώνων CAB, OKD

είναι \boxed{AB=\frac{11r}{6}} και ακόμα έχουμε \boxed{CK^2=r^2+77} Τελικά παίρνουμε:

\displaystyle{r = \sqrt {\frac{{67 \pm \sqrt {2185} }}{2}} } και \boxed{AB = \frac{{11}}{6}\sqrt {\frac{{67 + \sqrt {2185} }}{2}} } (πρώτο σχήμα) ή \boxed{AB = \frac{{11}}{6}\sqrt {\frac{{67 - \sqrt {2185} }}{2}} } (δεύτερο σχήμα)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης