Δισορθογώνιο τραπέζιο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9335
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Δισορθογώνιο τραπέζιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 04, 2017 5:26 pm

Δισορθογώνιο τραπέζιο.png
Δισορθογώνιο τραπέζιο.png (9.6 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές
Οι βάσεις AB, CD δισορθογωνίου τραπεζίου ABCD με ύψος a είναι ρίζες της εξίσωσης 2x^2-6ax+3a^2=0

α) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου.

β) Να δείξετε ότι το ABCD είναι περιγράψιμο.

γ) Να προσδιορίσετε σημείο M της πλευράς AD (γεωμετρική κατασκευή), ώστε (MAB)=(MCD).

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου MBC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7201
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δισορθογώνιο τραπέζιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 05, 2017 2:28 am

Δισορθογώνιο τραπέζιο.png
Δισορθογώνιο τραπέζιο.png (38.58 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές

Στο σχήμα έχει επιλεγεί \boxed{a = 6}

Η εξίσωση : 2{x^2} - 6ax + 3{a^2} = 0\,\,,a > 0 έχει ρίζες u\,,\,\,v με u + v = 3a και

u = AB = (3 + \sqrt 3 )\dfrac{a}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,v = CD = (3 - \sqrt 3 )\dfrac{a}{2}\, με AB > CD.

Ας είναι EZ = \dfrac{{AB + CD}}{2} = \dfrac{{u + v}}{2} = \dfrac{{3a}}{2} και άρα \boxed{(ABCD) = \frac{{3{a^2}}}{2}}.

Αν MA = x τότε MD = a - x και θα ισχύει ux = v(a - x) \Rightarrow \boxed{x = a(\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{6})}

Θα είναι δε \boxed{(MAB) = (MDC) = \frac{1}{2}ux = \frac{{{a^2}}}{4}} και άρα \boxed{(MBC) = {a^2}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9335
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δισορθογώνιο τραπέζιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Αύγ 07, 2017 4:43 pm

Κατασκευή χωρίς υπολογισμούς για το γ) ερώτημα.
Δισορθογώνιο τραπέζιο.b.png
Δισορθογώνιο τραπέζιο.b.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
Επί της DC θεωρώ σημείο E, ώστε DE=AB και στην προέκταση της BA προς το A σημείο H, ώστε AH=DC.

Το σημείο τομής των EH, AD είναι το ζητούμενο σημείο M. Πράγματι λόγω παραλληλίας είναι:

\displaystyle{\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AH}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{AB}} \Leftrightarrow AB \cdot AM = DC \cdot MD \Leftrightarrow } \boxed{(MAB)=(MCD)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες