Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους . Το θέμα έχει ως αφετηρία του το ωραίο θέμα ΕΔΩ

: 16-9-17 Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα.PNG (11.09 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Στο τρίγωνο ABC

του σχήματος είναι $\widehat{A}=90^{0}$ . Θεωρούμε τα $D\in AC..E\in AB$

ώστε να είναι $A\widehat{B}D=\widehat{B}/3$ και $A\widehat{C}E=\widehat{C}/3$ .

Οι BD,CE

τέμνονται στο

και έστω

το έγκεντρο του τριγώνου BCK

.

Ο κύκλος $\left ( K, \rho =KE \right )$ τέμνει τις προεκτάσεις των BL,CL

στα

αντίστοιχα .

1) Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα κι' ακόμη ότι $\left ( DEL \right )=3\left ( ZIK \right )$ .

Αν επιπλέον είναι BC=4DE

τότε : 2) Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( BCL \right )=48\left ( ZIL \right )$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος

Ορέστης Λιγνός · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2017 12:48 am
Καλημέρα σε όλους . Το θέμα έχει ως αφετηρία του το ωραίο θέμα ΕΔΩ
16-9-17 Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα.PNG
Στο τρίγωνο του σχήματος είναι $\widehat{A}=90^{0}$ . Θεωρούμε τα $D\in AC..E\in AB$

ώστε να είναι $A\widehat{B}D=\widehat{B}/3$ και $A\widehat{C}E=\widehat{C}/3$ .

Οι τέμνονται στο και έστω το έγκεντρο του τριγώνου .

Ο κύκλος $\left ( K, \rho =KE \right )$ τέμνει τις προεκτάσεις των στα αντίστοιχα .

1) Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα κι' ακόμη ότι $\left ( DEL \right )=3\left ( ZIK \right )$ .

Αν επιπλέον είναι τότε : 2) Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( BCL \right )=48\left ( ZIL \right )$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος

Γεια σου Γιώργο!

α) Έστω $\widehat{EBD}=\widehat{DBL}=\widehat{LBC}=\phi, \widehat{ACE}=\widhat{ECL}=\widehat{LCB}=\omega$ .

Εύκολα, $\phi+\omega=30^\circ$ , οπότε $\widehat{ZLI}=150^\circ \Rightarrow \widehat{ZKI}=2\widehat{ZEI}=2(180^\circ-\widehat{ZLI})=60^\circ \mathop \Rightarrow \limits^{KZ=KI} \vartriangle KZI$ ισόπλευρο.

Από εδώ είναι BE=BL

, και αφού $\widehat{EBK}=\widehat{KBL}$ , η

είναι η μεσοκάθετος της $EL \Rightarrow DE=DL$ , και όμοια ED=EL

, επομένως και το $\vartriangle DLE$ είναι ισόπλευρο.

Με Ν. Ημιτόνων στο $\vartriangle KEL$ παίρνουμε $EL=KZ \sqrt{3}$ , και άρα (EDL)=3(KZI)

.

β) Με Ν. Ημιτόνων στα $\vartriangle BKI, \vartriangle BKE$ και εξισώνοντας θα πάρουμε $\sin \widehat{BEK}=\sin \widehat{BIK}$ , επομένως $\widehat{BEK}=\widehat{BIK}$ ή $\widehat{BEK}+\widehat{BIK}=180^\circ$ .

Αν $\widehat{BEK}=\widehat{BIK}$ , τότε $\vartriangle BEK=\vartriangle BIK \Rightarrow BI=BE=BL<BI$ , άτοπο.

Άρα $\widehat{BEK}+\widehat{BIK}=180^{\circ} \Rightarrow \widehat{BIK}=90^\circ-\omega \Rightarrow$

$60^\circ+\widehat{ZIL}=90^\circ-\omega \Rightarrow \widehat{ZIL}=30^\circ-\omega=\phi=\widehat{LBC} \Rightarrow ZI \parallel BC$ .

Είναι $BC=4DE=4\sqrt{3}ZI$ .

Είναι $ZI \parallel BC \Rightarrow \vartriangle ZIL \sim \vartraingle BLC$ , και αφού $BC=4\sqrt{3}ZI$ , $(BLC)=(4\sqrt{3})^2(ZIL)=48(ZIL)$ .

Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα

Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα

Re: Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα

Μέλη σε σύνδεση