Σταθερό σημείο
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σταθερό σημείο
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα , μέσου , και μεταβλητό σημείο της μεσοκαθέτου του.
Στην προέκταση της , προς το , παίρνουμε σημείο και στο εσωτερικό του τμήματος παίρνουμε σημείο , ώστε να είναι
Να αποδειχτεί ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο.
Στην προέκταση της , προς το , παίρνουμε σημείο και στο εσωτερικό του τμήματος παίρνουμε σημείο , ώστε να είναι
Να αποδειχτεί ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Σταθερό σημείο
Καλημέρα σε όλους ! Να ευχαριστήσω τον αγαπητό Κώστα για το ωφέλιμο .. ..παίδεμα που προκάλεσε το παρόν θέμα !
Το ζητούμενο σημείο είναι η τομή της με το , σταθερό αφού , όπως θα δείξουμε είναι Δίνω προς το παρόν μόνο το σχήμα με την υπόσχεση ότι θα επανέλθω για την πληκτρολόγηση
της χειρόγραφης λύσης που βρήκα.. Φιλικά Γιώργος .
Το ζητούμενο σημείο είναι η τομή της με το , σταθερό αφού , όπως θα δείξουμε είναι Δίνω προς το παρόν μόνο το σχήμα με την υπόσχεση ότι θα επανέλθω για την πληκτρολόγηση
της χειρόγραφης λύσης που βρήκα.. Φιλικά Γιώργος .
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό σημείο
Στην προσπάθεια για λύση του προβλήματος που έχει προταθεί Εδώ, κατέληξα στο ισοδύναμο πρόβλημα που μας έδωσε ο Κώστας, αλλά όμως δεν το πήρα χαμπάρι εδώ, γιατί μπήκε στον φάκελο της Β' Λυκείου και δεν είχε σχήμα.
Από το σχήμα του Γιώργου φαίνεται πως οι λύσεις μας διαφέρουν και εάν πράγματι είναι έτσι, θα ακολουθήσω μετά από αυτόν.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Χαίρομαι που με την ευκαιρία του όμορφου αυτού προβλήματος του Konstantin Knop, οι σκέψεις μου συναντήθηκαν με αυτές του Κώστα και του Γιώργου, δύο εραστών της Γεωμετρίας που ξεχωρίζουν και εκτιμώ ιδιαίτερα. Ελπίζω κάποια στιγμή, να γνωρίσω προσωπικά και τον Γιώργο.
Από το σχήμα του Γιώργου φαίνεται πως οι λύσεις μας διαφέρουν και εάν πράγματι είναι έτσι, θα ακολουθήσω μετά από αυτόν.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Χαίρομαι που με την ευκαιρία του όμορφου αυτού προβλήματος του Konstantin Knop, οι σκέψεις μου συναντήθηκαν με αυτές του Κώστα και του Γιώργου, δύο εραστών της Γεωμετρίας που ξεχωρίζουν και εκτιμώ ιδιαίτερα. Ελπίζω κάποια στιγμή, να γνωρίσω προσωπικά και τον Γιώργο.
Re: Σταθερό σημείο
Σημαντική αναβάθμιση του θέματος : Το σχήμα της εκφώνησης είναι ουσιαστικά αυτό της
παραπομπής αλλά οι δύο ίσοι κύκλοι διέρχονται ο καθένας από το κέντρο του άλλου . Έστωσαν λοιπόν οι ίσοι κύκλοι και σημείο της μεσοκαθέτου
της διακέντρου . Η τέμνει τον ξανά στο , ενώ η
τέμνει τον στο . Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο
του . Βρείτε το λόγο : , ώστε το να είναι το μέσο του
παραπομπής αλλά οι δύο ίσοι κύκλοι διέρχονται ο καθένας από το κέντρο του άλλου . Έστωσαν λοιπόν οι ίσοι κύκλοι και σημείο της μεσοκαθέτου
της διακέντρου . Η τέμνει τον ξανά στο , ενώ η
τέμνει τον στο . Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο
του . Βρείτε το λόγο : , ώστε το να είναι το μέσο του
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Σταθερό σημείο
Καλό μήνα σε όλους .Eπανέρχομαι λοιπόν..με τη βοήθεια του σχήματος :
Είναι .
Με τον N.Σ στο τρίγωνο : ...
Αναζητούμε μια ακόμη σχέση για τα και προς τούτο θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Με τον Ν.Η στα τρίγωνα : άρα (ως οξείες).
Ακόμη έχουμε
και λόγω του ισοσκελούς : συνεπώς . Η είναι διάμετρος άρα .
Από το ισοσκελές προκύπτει οπότε .
Έτσι το είναι εγγράψιμο και παίρνουμε ...
Διαιρώντας τις (1) : (2) προκύπτει
και τελικά βρίσκουμε ή
Ευχαριστώ θερμά τον μοναδικό Κώστα Βήττα για τα καλά και ενθαρρυντικά του λόγια ! Θα είμαι ευτυχής αν -πρώτα ο Θεός-
μου δοθεί η ευκαιρία στην ΛΕΥΚΑΔΑ να συναντήσω από κοντά ανθρώπους που εκτιμώ βαθύτατα..
Για τη δική σου λύση Κώστα θεωρώ ότι είναι διαφορετική αλλά (.. ..ξαναβλέποντας την παρούσα σίγουρα ) και κομψότερη !
Φιλικά Γιώργος.
Με χρήση του Θ.Μενελάου στο τρίγωνο και διατέμνουσα την : Είναι .
Με τον N.Σ στο τρίγωνο : ...
Αναζητούμε μια ακόμη σχέση για τα και προς τούτο θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Με τον Ν.Η στα τρίγωνα : άρα (ως οξείες).
Ακόμη έχουμε
και λόγω του ισοσκελούς : συνεπώς . Η είναι διάμετρος άρα .
Από το ισοσκελές προκύπτει οπότε .
Έτσι το είναι εγγράψιμο και παίρνουμε ...
Διαιρώντας τις (1) : (2) προκύπτει
και τελικά βρίσκουμε ή
Ευχαριστώ θερμά τον μοναδικό Κώστα Βήττα για τα καλά και ενθαρρυντικά του λόγια ! Θα είμαι ευτυχής αν -πρώτα ο Θεός-
μου δοθεί η ευκαιρία στην ΛΕΥΚΑΔΑ να συναντήσω από κοντά ανθρώπους που εκτιμώ βαθύτατα..
Για τη δική σου λύση Κώστα θεωρώ ότι είναι διαφορετική αλλά (.. ..ξαναβλέποντας την παρούσα σίγουρα ) και κομψότερη !
Φιλικά Γιώργος.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό σημείο
Έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το και έστω το σημείο .
Ορίζουμε ως , το σημείο τομής του τμήματος από την ευθεία και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε και το σχήμα μας ταυτίζεται τώρα, με αυτό της εκφώνησης.
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε γιατί .
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την έχουμε λόγω .
Από Από το τρίγωνο τώρα, με διατέμνουσα την , όπου ,
έχουμε
Από
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο είναι σταθερό και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το . Η μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς τέμνει την στο σημείο έστω και έστω το σημείο , όπου είναι το μέσον της . Αποδείξτε ότι .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα 1.
Ορίζουμε ως , το σημείο τομής του τμήματος από την ευθεία και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε και το σχήμα μας ταυτίζεται τώρα, με αυτό της εκφώνησης.
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε γιατί .
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την έχουμε λόγω .
Από Από το τρίγωνο τώρα, με διατέμνουσα την , όπου ,
έχουμε
Από
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο είναι σταθερό και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το . Η μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς τέμνει την στο σημείο έστω και έστω το σημείο , όπου είναι το μέσον της . Αποδείξτε ότι .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα 1.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Δευ Οκτ 02, 2017 8:46 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό σημείο
Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου στο σημείο και άρα,vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το . Η μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς τέμνει την στο σημείο έστω και έστω το σημείο , όπου είναι το μέσον της . Αποδείξτε ότι
ισχύει
Από λόγω .
Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου στο σημείο και επομένως,
ισχύει
Έστω , το μέσον της πλευράς και από έχουμε Στα όμοια τρίγωνα , με κοινή την γωνία και , οι είναι ομόλογες ευθείες και επομένως,
ισχύει
Από
Από
Από και
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα, έχουμε , λόγω .
Από στο ορθογώνιο πλέον τρίγωνο με και , συμπεραίνεται ότι και το Λήμμα 1 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Ενδιαφέρον έχει η επέκταση που μας έδωσε ο Θανάσης ( KARKAR ) πιο πάνω, αλλά δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση. Βρήκα μία άκρη αλλά θέλει δουλειά.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Παρ Μαρ 09, 2018 12:57 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό σημείο
Ζόρικη η επέκταση του Θανάση ως προς το πρώτο ζητούμενο, για το οποίο βρίσκωKARKAR έγραψε:Έστωσαν λοιπόν οι ίσοι κύκλοι και σημείο της μεσοκαθέτου της διακέντρου . Η τέμνει τον ξανά στο , ενώ η τέμνει τον στο . Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο του . Βρείτε το λόγο : , ώστε το να είναι το μέσο του
Για το δεύτερο ζητούμενο τώρα, εύκολα προκύπτει ότι και θα επανέλθω εάν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις. (*)
Θανάση σ' ευχαριστώ θερμά.
Κώστας Βήττας.
(*) Η πάντως είναι σωστή και η ισότητα επαληθεύεται από το σχεδιαστικό πρόγραμμα υπολογιστή.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό σημείο
Έστω , το σημείο στην προέκταση του προς το μέρος του , ώστε να είναι και έστω το μέσον του .
Έστω τα σημεία και και ας είναι , το σημείο τομής του από την ευθεία .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2, έχουμε και έτσι, το σχήμα μας ταυτίζεται τώρα με αυτό της εκφώνησης.
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου,
έχουμε
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την , έχουμε
Από την ομοιότητα των τριγώνων , λόγω της και κοινής της γωνίας ,
έχουμε όπου και .
Από
Από λόγω της και .
Από Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την ,
έχουμε λόγω και
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την ,
έχουμε λόγω .
Από
Από
Από
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο είναι σταθερό και το (α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Από για και το (β) ζητούμενο έχει υπολογιστεί.
ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο και έστω , το σημείο τομής της πλευράς του από τον κύκλο έστω χορδής , ο οποίος εφάπτεται της στο σημείο . Η μεσοκάθετη ευθεία του , όπου είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς το , τέμνει το τμήμα στο σημείο και έστω το σημείο , όπου είναι το μέσον του . Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα 2.
Έστω τα σημεία και και ας είναι , το σημείο τομής του από την ευθεία .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2, έχουμε και έτσι, το σχήμα μας ταυτίζεται τώρα με αυτό της εκφώνησης.
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου,
έχουμε
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την , έχουμε
Από την ομοιότητα των τριγώνων , λόγω της και κοινής της γωνίας ,
έχουμε όπου και .
Από
Από λόγω της και .
Από Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την ,
έχουμε λόγω και
Από το τρίγωνο με διατέμνουσα την ,
έχουμε λόγω .
Από
Από
Από
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο είναι σταθερό και το (α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Από για και το (β) ζητούμενο έχει υπολογιστεί.
ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο και έστω , το σημείο τομής της πλευράς του από τον κύκλο έστω χορδής , ο οποίος εφάπτεται της στο σημείο . Η μεσοκάθετη ευθεία του , όπου είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς το , τέμνει το τμήμα στο σημείο και έστω το σημείο , όπου είναι το μέσον του . Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα 2.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τετ Οκτ 04, 2017 12:59 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: Σταθερό σημείο
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Σταθερό σημείο
Χαιρετώ ! Νοιώθω ιδιαίτερη χαρά και τιμή να συμμετέχω σε συζήτηση όπως αυτή.
Όταν μάλιστα -όπως φαίνεται από την λύση που έδωσα πριν - βρέθηκα σε κοινά μονοπάτια σκέψης με τον Κώστα Ρεκούμη.
Στην επέκταση του θέματος στο μόνο που διαφέρει ουσιαστικά η διαδρομή της λύσης μου απ' αυτή του Κώστα
είναι στον υπολογισμό του . Με χρήση του σχήματος: Θα δείξουμε ότι το είναι εγγράψιμο. Έχουμε
αλλά και οπότε .
Από το ισοσκελές παίρνουμε . Έτσι προκύπτει
άρα πράγματι εγγράψιμο.Τότε . Είναι συνεπώς ...
Είναι φανερό πως στην αρχική εκφώνηση ισχύει ειδικά και τότε το γίνεται
... και τελικά .
Ένα και στον Θανάση που ''είδε'' την γενίκευση-αναβάθμιση του θέματος !
Με εκτίμηση ... Φιλικά Γιώργος.
Όταν μάλιστα -όπως φαίνεται από την λύση που έδωσα πριν - βρέθηκα σε κοινά μονοπάτια σκέψης με τον Κώστα Ρεκούμη.
Στην επέκταση του θέματος στο μόνο που διαφέρει ουσιαστικά η διαδρομή της λύσης μου απ' αυτή του Κώστα
είναι στον υπολογισμό του . Με χρήση του σχήματος: Θα δείξουμε ότι το είναι εγγράψιμο. Έχουμε
αλλά και οπότε .
Από το ισοσκελές παίρνουμε . Έτσι προκύπτει
άρα πράγματι εγγράψιμο.Τότε . Είναι συνεπώς ...
Είναι φανερό πως στην αρχική εκφώνηση ισχύει ειδικά και τότε το γίνεται
... και τελικά .
Ένα και στον Θανάση που ''είδε'' την γενίκευση-αναβάθμιση του θέματος !
Με εκτίμηση ... Φιλικά Γιώργος.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό σημείο
Ισχύει καιvittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο και έστω , το σημείο τομής της πλευράς του από τον κύκλο έστω χορδής , ο οποίος εφάπτεται της στο σημείο . Η μεσοκάθετη ευθεία του , όπου είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς το , τέμνει το τμήμα στο σημείο και έστω το σημείο , όπου είναι το μέσον του . Αποδείξτε ότι , όπου .
Έστω , το μέσον του και από
Στα όμοια τρίγωνα , λόγω της και της κοινής της γωνίας τους , οι είναι ομόλογες ευθείες
και επομένως, ισχύει
Από Τώρα, από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται
στον περίκυκλο έστω του τριγώνου στο σημείο και άρα, ισχύει
Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου στο σημείο και επομένως,
ισχύει
Από
Από έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα, ισχύει
όπου είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς το .
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω και άρα, έχουμε
Από και , λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , προκύπτει
Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου στο σημείο και άρα,
έχουμε
Από και , λόγω συμμετρίας ως προς το σημείο , συμπεραίνεται ότι και το Λήμμα 2 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες