Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους και καλό μήνα !

: 1-11-17 Λόγος μέσω ..Πέργης.PNG (9.03 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Το

είναι ύψος του $\triangle ABC$ ενώ 2AB=3AC

. Αν είναι BC= 5 cm

και $\left ( BAC \right )=15 cm^{2}$ τότε :

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{AH}{HB}$ είναι ρητός αριθμός.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

: Εύρεση λόγου μέσω Πέργης.png (34.04 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

δείτε αυτό

Edit: άρση απόκρυψης

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2017 12:43 am Καλημέρα σε όλους και καλό μήνα !
1-11-17 Λόγος μέσω ..Πέργης.PNG

Το είναι ύψος του $\triangle ABC$ ενώ . Αν είναι και $\left ( BAC \right )=15 cm^{2}$ τότε :

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{AH}{HB}$ είναι ρητός αριθμός.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλό μήνα σε όλους!

: Λόγος... Πέργης.png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Φέρνω $\displaystyle AD \bot BC$ και θέτω CD=y, AC=2x

οπότε

. Λόγω του εμβαδού είναι AD=6cm

Από Π. Θ στα τρίγωνα ADC, ADB

παίρνω διαδοχικά: $\displaystyle y = \sqrt {4{x^2} - 36}$ και $\boxed{{\left( {5 + \sqrt {4{x^2} - 36} } \right)^2} + 36 = 9{x^2}}$

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $x=\sqrt{13}$ , άρα $\boxed{AB=3\sqrt{13}}$ και λόγω εμβαδού $\boxed{HC = \frac{{10}}{{\sqrt {13} }}}$

Εύκολα τώρα βρίσκω $\displaystyle HB = \frac{{15}}{{\sqrt {13} }},AH = \frac{{24}}{{\sqrt {13} }} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{8}{5}}$ , δηλαδή ρητός!

Προφανώς η λύση μου δεν έχει σχέση με τον τίτλο της άσκησης. Η άσκηση, βέβαια έχει πολλές δυνατότητες.

Να παρατηρήσω ακόμα ότι CD=4, DH=6

και η

εφάπτεται στον κύκλο διαμέτρου

. Επίσης τα τρίγωνα

ADB, ADC, BHC

είναι όμοια μεταξύ τους. Ίσως υπάρχουν και άλλα ενδιαφέροντα στοιχεία που μου διαφεύγουν

αυτή τη στιγμή. Δεν κάνω αναφορά στον Απολλώνιο, το περιμένω από τον Νίκο που είναι ο αγαπημένος του

Τέλος, γνωρίζοντας τις αδυναμίες του Γιώργου δεν θα εκπλαγώ αν εμφανίσει, ως δια μαγείας, το λόγο της χρυσής τομής

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2017 12:43 am Καλημέρα σε όλους και καλό μήνα !
1-11-17 Λόγος μέσω ..Πέργης.PNG

Το είναι ύψος του $\triangle ABC$ ενώ . Αν είναι και $\left ( BAC \right )=15 cm^{2}$ τότε :

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{AH}{HB}$ είναι ρητός αριθμός.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ανάλυση :

: Αρχή Εύρεση λόγου.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Πρώτα-πρώτα, το

θα ανήκει στο κύκλο του Απολλώνιου για κάθε σημείο , έστω

, του οποίου $\dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{3}{2}$ .

Αν δε ο κύκλος αυτός τέμνει το τμήμα

εσωτερικά κι εξωτερικά στα σημεία $D,\,\,Z$ τότε οι $AD,\,\,AZ$ θα είναι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ .

Εδώ έχουμε όμως ότι (ABC) = 15

οπότε προφανώς $\boxed{{\upsilon _\alpha } = 6}$ .

Επειδή $\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{ZB}}{{ZC}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = 5 = 3 + 2$ θα έχω:

$\dfrac{{ZC + 5}}{{ZC}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow ZC = 10 \Rightarrow ZD = 12$ οπότε η ακτίνα του κύκλου του Απολλώνιου είναι $\boxed{R = 6}$ . Μετά απ’ αυτά :

: Εύρεση λόγου μέσω Πέργης.png (32.18 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Αν

το σημείο τομής των ημικυκλίων διαμέτρων $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DZ$ , φέρνω τη

που στη προέκτασή της τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο , κέντρου

, στο ζητούμενο

.

Πράγματι , επειδή $BH \cdot BA = BD \cdot BZ = 3 \cdot 15 = 5 \cdot 9 = BC \cdot BK$ το τετράπλευρο

HCKA

είναι εγγράψιμο , άρα $AK \bot BC \Rightarrow AK = 6$ .

Αν τώρα φέρω κάθετη στο

επί την

και κόψει την

στο

από την προφανή ισότητα των τριγώνων $ADC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,APZ$ και την παραλληλία των $HC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP$ έχω :

$\boxed{\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{PC}}{{CB}} = \frac{8}{5}}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #5

Kαλημέρα. Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ πολύ για τις ωραίες λύσεις !
Οκ Γιώργο , σ' επόμενη δημιουργία θα προσπαθήσω ν' αποκαταστήσω ..

.. την τιμή της χρυσής τομής αλλά
στην παρούσα κατασκευή είχα κατά νου μόνο τον Απολλώνιο τον Περγαίο..
Να πω ότι προέβλεπα την συμμετοχή του Νίκου , όχι βέβαια και την (.. να την πούμε Νίκο νυχτερινή ή πρωϊνή ;..) ώρα της πρώτης παρέμβασης !
Σε νέα ανάρτηση προτίθεμαι να γράψω το σκεπτικό για την δημιουργία της άσκησης και προσωπική προσέγγιση-λύση.

Θα ήθελα τώρα στον ΓΙΩΡΓΟ ΒΙΣΒΙΚΗ αφού μόλις συμπλήρωσε

χρόνια προσφοράς στο

να ευχηθώ :
ΥΓΕΙΑ , κάθε ευτυχία και να συνεχίσει παραγωγικός κι' ακαταπόνητος να προσφέρει (συνάμα να απολαμβάνει τους καρπούς) για πολλά-πολλά χρόνια !

Συναδελφικά και φιλικά Γιώργος.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Νοέμ 02, 2017 1:30 am Θα ήθελα τώρα στον ΓΙΩΡΓΟ ΒΙΣΒΙΚΗ αφού μόλις συμπλήρωσε χρόνια προσφοράς στο να ευχηθώ :
ΥΓΕΙΑ , κάθε ευτυχία και να συνεχίσει παραγωγικός κι' ακαταπόνητος να προσφέρει (συνάμα να απολαμβάνει τους καρπούς) για πολλά-πολλά χρόνια !

Συναδελφικά και φιλικά Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο!

Σ' ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σου. Αντεύχομαι Υγεία, Ευτυχία, Δημιουργικότητα με μαθηματικές ανησυχίες και εμπνεύσεις.

Μόλις πριν από λίγο παρατήρησα ότι έχουμε κάτι κοινό στην επέτειό μας ως μέλη του

αφού και στις δύο ημερομηνίες

εορτάζεται η μνήμη των Αγίων Αναργύρων, Κοσμά και Δαμιανού! Πρόκειται βέβαια για δύο διαφορετικά ζευγάρια γιατρών

με τα ίδια ονόματα, που ονομάστηκαν Ανάργυροι, γιατί δεν δέχονταν χρήματα από τους ασθενείς. Το ένα ξευγάρι από τη Ρώμη

(εορτάζεται την 1η Ιουλίου) και το άλλο από την Ασία (την 1η Νοεμβρίου).

Γιώργος Μήτσιος · #7

Χαιρετώ ! Λίγα λόγια για την σύνθεση και συνοπτική προσέγγιση-λύση του θέματος.
Τα δεδομένα τέθηκαν έτσι ώστε η θέση της κορυφής

να είναι μοναδική στο ''άνω'' ημιεπίπεδο ως προς την βάση

.
Αφενός , όπως αναφέρθηκε το

ανήκει στον Απολλώνιο κύκλο με διάμετρο

και κέντρο το

μέσον αυτής
και αφετέρου ανήκει και σε ευθεία $\left ( \varepsilon \right )\parallel BC$ σε απόσταση ίση με την ακτίνα του κύκλου ώστε να εφάπτεται σ' αυτόν.
Έτσι προκύπτει το σχήμα που ακολουθεί :

: 7-11-17 Εύρεση λόγου...PNG (8.24 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Ας δούμε μια ακόμη διαδρομή για χάρη της Τριγωνομετρίας. Στο σχήμα είναι : $\varepsilon \varphi B=2/3 ..\varepsilon \varphi \theta =3/2$

οπότε $\varepsilon \varphi \omega =\varepsilon \varphi \left ( \theta -B \right )=\dfrac{\varepsilon \varphi \theta -\varepsilon \varphi B}{1+\varepsilon \varphi \theta \cdot \varepsilon \varphi B}=..=5/12$ .

Τότε $\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{HC/HB}{HC/AH}=\dfrac{\varepsilon \varphi B}{\varepsilon \varphi \omega }=..=\dfrac{8}{5}$ .

Φιλικά Γιώργος

Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Re: Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Re: Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Re: Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Re: Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Re: Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Re: Εύρεση λόγου μέσω .. Πέργης

Μέλη σε σύνδεση