Άθροισμα μέσω περίκεντρου

#1

: Άθροισμα μέσω περίκεντρου.png (11.46 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Έστω

το περίκεντρο τριγώνου ABC

με

Αν οι

τέμνουν τις

BC, AC, AB

στα σημεία D, E, Z

αντίστοιχα, να υπολογίσετε το άθροισμα $\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CZ}$

#2

Το αποτέλεσμα είναι $\dfrac{{16}}{{65}}$ .

: Αθροισμα απο περίκεντρο.png (29.25 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Ας είναι $\boxed{AT = y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OM = u}$ οι αποστάσεις των $A\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O\,$ από την

.

Επειδή $\dfrac{{OM}}{{AT}} = \dfrac{{DO}}{{DA}} = \dfrac{{AD - R}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{u}{y} = \dfrac{{AD - R}}{{AD}}$ έχω :

$\dfrac{1}{{AD}} = \dfrac{1}{R} - \dfrac{u}{{yR}} = \dfrac{1}{R} - \dfrac{{au}}{{ayR}} = \dfrac{1}{R} - \dfrac{{(OBC)}}{{ER}}\,\,(1),\,\,E = (ABC)$ .

Κάνουμε κυκλική εφαρμογή στην (1)

και προσθέτουμε κατά μέλη , οπότε :

$\boxed{\frac{1}{{AD}} + \frac{1}{{BE}} + \frac{1}{{CZ}} = \frac{3}{R} - \frac{1}{R} = \frac{2}{R}}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2017 10:56 am
... να υπολογίσετε το άθροισμα $\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CZ}$

Γενικότερα, αν

οποιοδήποτε σημείο όπου συγκλίνουν τρεις σεβιανές AD, DE, CF

, ισχύει

$\dfrac{AK}{AD}+\dfrac{BK}{BE}+\dfrac{CK}{CZ} =2$

Στην περίπτωση όπου K=O

, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε AK=BK=CK=R

(ακτίνα
περιγεγραμμένου), που δίνει το ζητούμενο. Η λύση του Νίκου στο προηγούμενο ποστ, ουσιαστικά λέει το ίδιο
πράγμα. Απλά καταγράφω τα παραπάνω μήπως κάποιος δεν προσέξει την γενίκευση (που είναι στα συμφραζόμενα της απόδειξης του Νίκου) .

Άθροισμα μέσω περίκεντρου

Άθροισμα μέσω περίκεντρου

Re: Άθροισμα μέσω περίκεντρου

Re: Άθροισμα μέσω περίκεντρου

Μέλη σε σύνδεση