Εύρεση τμήματος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3264
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εύρεση τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Νοέμ 21, 2017 5:22 pm

shape.png
shape.png (18.93 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές
Στο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο ABCD είναι χαρταετός. Να βρείτε το μήκος του τμήματος CZ = x


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6960
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 21, 2017 6:41 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τρί Νοέμ 21, 2017 5:22 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο ABCD είναι χαρταετός. Να βρείτε το μήκος του τμήματος CZ = x
Εύρεση τμήματος.png
Εύρεση τμήματος.png (44.02 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

Κατασκευή και αποτέλεσμα

Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τρί Νοέμ 21, 2017 8:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Εύρεση τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Νοέμ 21, 2017 7:32 pm

Διαφορετικά:

Θέτουμε y \equiv AB. Με νόμο συνημιτόνων στο \triangle{BCZ} (χρησιμοποιώντας \displaystyle \cos \angle{BCZ} = \cos \angle{BAE} = \frac{y}{24}) έχουμε \displaystyle x^2 + y^2 - \frac{xy^2}{12} = 49.

Με νόμο συνημιτόνων στο \triangle{DZE} (χρησιμοποιώντας \displaystyle \cos \angle{DEZ} = \frac{288 - y^2}{288}) έχουμε \displaystyle (8-x)^2 = 1 + \frac{5y^2}{36}.

Αντικαθιστώντας το y^2 από την προηγούμενη εξίσωση παίρνουμε (x-7)(x-17)(3x-17)=0. Οι λύσεις x = 7, x = 17 αντιστοιχούν σε |DZ| = 1, |DZ| = 9 και σε εκφυλισμένο \triangle{DZE}. Άρα x = 17/3.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11223
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εύρεση τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 21, 2017 7:55 pm

SYSTEM.png
SYSTEM.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Ήρθε η ώρα του γέλιου : Με δύο Μενέλαους , δύο Συνημίτονους κι έναν Stewart ,παίρνω τις εξισώσεις :

7a=3y ,t=56-8x,a^2-2268=36x^2-576x , xy^2+49t=(t+x)(a^2+tx) .

Η επίλυση του συστήματος δίνει : a=4\sqrt{2} , x=\dfrac{17}{3} , y=\dfrac{28\sqrt{2}}{3} , t=\dfrac{32}{3} .

Θα ρωτήσει κανείς τι τα θέλουμε όλα αυτά ; ΟΚ : αλλά κάποιος μπορεί να θελήσει

να αξιοποιήσει το νέο σχήμα ή να προσπαθήσει να λύσει το σύστημα με το χέρι :lol:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6960
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση τμήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 21, 2017 8:39 pm

Κατασκευή ( πριν τους υπολογισμούς)

Επειδή η DB εξωτερική διχοτόμος στο \vartriangle DZC φέρνω τη εσωτερική DT \bot DB.

Από την γνωστή αναλογία : \dfrac{{ZT}}{{TE}} = \dfrac{{BZ}}{{BE}} \Rightarrow \dfrac{{ZT}}{{5 - ZT}} = \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow \boxed{ZT = \dfrac{{35}}{{19}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{TE = \dfrac{{60}}{{19}}}.

Το ημικύκλιο διαμέτρου BT τέμνει τον κύκλο (E,4). Προεκτείνω την ED κατά τμήμα DA = 8 .

Το συμμετρικό του A ως προς την BD , σημείο C ολοκληρώνει την κατασκευή.

Υπολογισμοί :
Εύρεση τμήματος_υπολογισμοί.png
Εύρεση τμήματος_υπολογισμοί.png (41.87 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές
Έστω S το σημείο τομής των AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE. Επειδή AC//DT θα είναι : ST = 2TE = \dfrac{{120}}{{19}} \Rightarrow SZ = \dfrac{{120 - 35}}{{19}} = \dfrac{{85}}{{19}}.


Αν τώρα θέσω CZ = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZD = y θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  x + y = 8 \hfill \\ 
  \frac{x}{y} = \frac{{85}}{{35}} = \frac{{17}}{7} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{17}}{3} \hfill \\ 
  y = \frac{7}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6960
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση τμήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 21, 2017 9:31 pm

Εύρεση τμήματος_new.png
Εύρεση τμήματος_new.png (38.5 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Εδώ μια απλή λύση. Το γραμμοσκιασμένο τετράπλευρο είναι ρόμβος . Μετά Θ. Θαλή και ομοιότητες . Δηλαδή γνώσεις Γ Γυμνασίου .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης