Κι ένα ημίτονο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11223
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κι ένα ημίτονο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 23, 2017 10:20 am

κι ένα  ημίτονο.png
κι ένα ημίτονο.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές
Οι προεκτάσεις των πλευρών BC , AD του χαρταετού ABCD ,

τέμνονται στο σημείο S .Υπολογίστε το \sin\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11807
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κι ένα ημίτονο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 23, 2017 11:30 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 23, 2017 10:20 am
κι ένα ημίτονο.pngΟι προεκτάσεις των πλευρών BC , AD του χαρταετού ABCD ,

τέμνονται στο σημείο S .Υπολογίστε το \sin\theta .
Ας το δούμε με Αναλυτική (ξέρω και Συνθετική λύση) γιατί είναι άμεση, χωρίς να χρειάζεται καθόλου σκέψη. Αναδεικνύεται έτσι ένα μεγάλο πλεονέκτημα της Αναλυτικής, που όμως αντισταθμίζεται από την κομψότητα της κλασικής Γεωμετρίας.

Με αρχή των αξόνων το O εύκολα βλέπουμε από τα δύο σημεία A(0,4), D(2,0) ότι η ευθεία AD είναι η y=-2x+4. Όμοια η BC είναι η y=-\frac {1}{2}-1. Aπό έτοιμο τύπο η μεταξύ τους γωνία έχει \tan (180 - \theta)  = \dfrac {-2+1/2}{1-(-2)(-1/2)}= -\dfrac {3}{4}.

Άρα \tan \theta  =  \dfrac {3}{4} από όπου \sin \theta  =  \dfrac {3}{5} (είναι \theta \approx 36,6 ^o).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11807
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κι ένα ημίτονο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 23, 2017 11:46 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 23, 2017 10:20 am
κι ένα ημίτονο.pngΟι προεκτάσεις των πλευρών BC , AD του χαρταετού ABCD ,

τέμνονται στο σημείο S .Υπολογίστε το \sin\theta .

Για Συνθετική λύση, παρατηρούμε από το Πυθαγόρειο ότι AD = \sqrt 20, \, CD = \sqrt 5. Εύκολα τώρα συμπεραίνουμε από το αντίστροφο του Πυθαγορείου ότι το τρίγωνο ACD είναι ορθογώνιο. Άρα \sin \theta = \sin (90+\theta) = \sin (\angle BCD), που είναι άμεσο από το τρίγωνο BCD.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6960
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κι ένα ημίτονο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 23, 2017 11:48 am

κι ένα ημίτονο.png
κι ένα ημίτονο.png (22.92 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές
Επειδή 2 \cdot 2 = 1 \cdot 4 \Leftrightarrow OB \cdot OD = OC \cdot OA το τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου AC.

Θέτω CD = b,\,CS = a\,,\,DS = x . Επειδή

\boxed{\theta  = \omega  - \varphi  \Rightarrow \tan \theta  = \tan (\omega  - \varphi ) = \dfrac{{\tan \omega  - \tan \varphi }}{{1 + \tan \omega  \cdot \tan \varphi }} = \dfrac{{2 - \dfrac{1}{2}}}{{1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{3}{4}}

Το τρίγωνο CSD \to (5k,4k,3k) \Rightarrow \boxed{\sin \theta  = \frac{3}{5}}


kfd
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Κι ένα ημίτονο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Πέμ Νοέμ 23, 2017 1:09 pm

AD^{2}=20,AC^{2}=25,DC^{2}=5\Rightarrow \angle ADC=90^{0} άρα \angle DCS+\angle \vartheta =90^{0}\Rightarrow sin \vartheta =cos\angle DCS=cos\left ( 2\angle DBC \right )=2cos^{2}\left ( \angle DBC \right )-1=2\cdot \frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3264
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Κι ένα ημίτονο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Νοέμ 23, 2017 3:58 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 23, 2017 10:20 am
Οι προεκτάσεις των πλευρών BC , AD του χαρταετού ABCD ,

τέμνονται στο σημείο S .Υπολογίστε το \sin\theta .
Κι-ένα-ημίτονο.png
Κι-ένα-ημίτονο.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές
Με ST \bot BD και την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων με λόγο καθέτων 1:2 έχουμε:

\sin \theta  = \dfrac{{AB}}{{AS}} = \dfrac{{BC}}{{CS}} = \dfrac{{BO}}{{OT}} = \dfrac{3}{5}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κι ένα ημίτονο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 23, 2017 4:30 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 23, 2017 10:20 am
κι ένα ημίτονο.pngΟι προεκτάσεις των πλευρών BC , AD του χαρταετού ABCD ,

τέμνονται στο σημείο S .Υπολογίστε το \sin\theta .
Καλησπέρα!
One sin.png
One sin.png (10 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές
Εύκολα βρίσκω τα μήκη των τμημάτων στο σχήμα. Τα τρίγωνα SCD, SAB είναι όμοια κι επειδή AB=2CD

θα είναι \displaystyle 2\sqrt 5  + y = 2x,\sqrt 5  + x = 2y \Rightarrow \boxed{x=\frac{5\sqrt 5}{3}} Άρα, \displaystyle \sin \theta  = \frac{\sqrt 5 }{{x}} \Leftrightarrow \boxed{\sin \theta  = \frac{3}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης