Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

: 1-12-17 ..Tριγωνισμός (;) ημικυκλίου.PNG (7.18 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και έστω

το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των B,I,A

τέμνει την

στο

.

1) Να εξεταστεί αν η

διέρχεται από το μέσον

του ύψους

.

Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο

που τέμνει την

στο

.

Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι

... για την συνέχεια :

2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου DEC

με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος .

#2

α) Ας είναι

η τομή του κύκλου (A,I,B)

με τη

. Επειδή $AD = \sqrt {{3^2} - {1^2}} = 2\sqrt 2 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,ID = \dfrac{{AD \cdot DC}}{{AC + CD}} \Rightarrow ID = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{1}{4}AD\,(1)$

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο (A,I,B)

έχω : $DB \cdot DH = DI \cdot DA \Rightarrow DH = 2 \Rightarrow \boxed{BH = 1}$ .

Αλλά ομοίως $CB \cdot CH = CZ \cdot CA \Rightarrow \boxed{CZ = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZA = 1}$ . Τώρα από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ADC

με διατέμνουσα $\overline {BMZ}$ έχω :

$\dfrac{{AM}}{{MD}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CZ}}{{ZA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MD}} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{1} = 1 \Rightarrow \boxed{AM = MD}$ .

: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών.png (46.77 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

β) Το τετράπλευρο MDCE

είναι εγγράψιμο και έτσι:

$AM \cdot AD = AE \cdot AC \Rightarrow \boxed{AE = \dfrac{4}{3}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC = \dfrac{5}{3}}$ .

Επειδή $\dfrac{{(EDC)}}{{(ABC)}} = \dfrac{{CE \cdot CD}}{{CB \cdot CA}} = \dfrac{5}{{18}} \Rightarrow (EDC) = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{9} > \dfrac{\pi }{4}$ = εμβαδόν ημικυκλίου διαμέτρου

.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 01, 2017 2:40 am
Καλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

Το τρίγωνο έχει και έστω το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των τέμνει την στο .

1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .

Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .

Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :

2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος .

Καλημέρα και καλό μήνα...(και καλό χειμώνα...)
Για το πρώτο ερώτημα εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα.

: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών 1.png (15.76 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

Από τα δεδομένα των πλευρών του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ εύκολα προκύπτει ότι είναι:

$\displaystyle{AD=2\sqrt{2}, \ \ (1)}$

Επίσης:

$\displaystyle{IZ=BI, \ \ (2)}$

γιατί είναι χορδές ίσων τόξων στον ίδιο κύκλο.

Ακόμα από το θεώρημα των εσωτερικών διχοτόμων προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{ID}{IA}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{3}}$

δηλαδή:

$\displaystyle{ID=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ \ (4), \ \ \ AI=3\frac{\sqrt{2}}{2} \ \ (5)}$

Τέλος από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{(BDI)}$ έχουμε:

$\displaystyle{BI=\sqrt{\frac{3}{2}}=IZ, \ \ (6)}$

Θα υπολογίσουμε πρώτα την $\displaystyle{AZ=m}$ από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{(AIZ)}$
Είναι:

$\displaystyle{(IZ)^2=(AZ)^2+(AI)^2-2(AZ)(AI)cos(\frac{A}{2})\ \ (7)}$

Από την (7) σύμφωνα με τΙς (5), (6) και με το ότι από το τρίγωνο $\displaystyle{(ADC)}$ είναι:

$\displaystyle{cos(\frac{A}{2})=\frac{AD}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

προκύπτει ότι:

$\displaystyle{m=AZ=1, \ \ (8)}$

Τέλος αν στο τρίγωνο $\displaystyle{(ADC)}$ εφαρμόχουμε το θεώρημα του Μενελάου, με διατέμνουσα την $\displaystyle{BMZ}$ τότε θα έχουμε:

$\displaystyle{\frac{AZ}{ZC}\cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DM}{MA}=1, (9)}$

Αν στην (9) αντικαταστήσουμε την τιμή από την (8) και τις άλλες από τα δεδομένα του προβλήματος
προκύπτει:

$\displaystyle{DM=MA}$

δηλαδή το $\displaystyle{M}$ μέσο του ύψους $\displaystyle{AD}$ .

Θα ακολουθήσει κι άλλο μήνυμα για το δεύτερο ερώτημα.

Κώστας Δόρτσιος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 01, 2017 2:40 am
Καλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.
1-12-17 ..Tριγωνισμός (;) ημικυκλίου.PNG
Το τρίγωνο έχει και έστω το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των τέμνει την στο .

1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .

Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .

Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :

2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος .

1.Είναι $\displaystyle AD = 2\sqrt 2$ και $\displaystyle \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AI}}{{ID}} \Rightarrow 3ID = AD \Rightarrow ID = \frac{{AD}}{4} \Rightarrow \boxed{ID = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

Επειδή $\displaystyle \angle MCI = \angle IBZ = \angle BZI = \angle \frac{A}{2} \Rightarrow ZMIC$ εγγράψιμο

Επιπλέον $\displaystyle \angle IBA = \angle IZC = \angle ICD = \angle \frac{B}{2} \Rightarrow DC$ εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle ZMIC$ .

Άρα $\displaystyle C{D^2} = DI \cdot DM \Rightarrow 1 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}DM \Rightarrow \boxed{DM = \sqrt 2 = \frac{{AD}}{2}}$

2.Με $\displaystyle IP \bot AC \Rightarrow IP = ID$ .Ακόμη, $\displaystyle ID = IM$ και

$\displaystyle ME//IP \Rightarrow \frac{{ME}}{{IP}} = \frac{{AM}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow ME = \frac{2}{3}IP = \frac{{AD}}{6}$

$\displaystyle \Rightarrow M{E^2} = MQ \cdot AM \Rightarrow \frac{{A{D^2}}}{{36}} = MQ \cdot \frac{{AD}}{2} \Rightarrow MQ = \frac{{AD}}{{18}} \Rightarrow \boxed{QD = \frac{{5AD}}{9}}$

$\displaystyle \left( {DCE} \right) = \left( {QDC} \right) = \frac{{5 \cdot 2AM}}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{5AM}}{9} = \frac{{5\sqrt 2 }}{9} > \pi {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi }{4}$ =εμβαδόν του εν λόγω ημικυκλίου

: δ.υ.κ.σ.ε.png (23.53 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 01, 2017 2:40 am
Καλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

Το τρίγωνο έχει και έστω το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των τέμνει την στο .

1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .

Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .

Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :

2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος .

Καλημέρα.

Παραθέτω κι εγώ την απάντηση στο δεύτερο
ερώτημα καθώς το είχα υποσχεθεί στο πρώτο μου μήνυμα,
παρόλο ότι απαντήθηκε από άλλους συναδέλφους.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών 3.png (25.48 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Από τα προηγούμενα η ακτίνα του ημικυκλίου είναι:

$\displaystyle{KA=KM=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Άρα το εμβαδόν του ημικυκλίου $\displaystyle{C_{MA}}$ θα είναι:

$\displaystyle{E(C_{MA})=\frac{1}{2}\pi (\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{\pi}{4} \ \ (1)}$

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\displaystyle{(AME),(ACD)}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{AE}{AM}=\frac{AD}{AC}}$

από την οποία με αντικατάσταση των γνωστών τμημάτων $\displaystyle{AM,AD,AC}$ υπολογίζουμε:

$\displaystyle{AE=\frac{4}{3}}$

Επομένως:

$\displaystyle{EC=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3} \ \ (2)}$

Έτσι για το ζητούμενο εμβαδόν έχουμε:

$\displaystyle{E(CDE)=\frac{1}{2}(CD)(CE)sin\hat{C}=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{9} \ \ (3)}$

Για τη σύγκριση θεωρούμε το λόγο:

$\displaystyle{\frac{E(C_{MA})}{E(CDE)}=\frac{9\pi}{20 \sqrt{2}}}$

ο οποίος εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι μικρότερος της μονάδας.
Άρα το ημικύκλιο έχει μικρότερο εμβαδόν από το συγκεκριμένο τρίγωνο.

Κώστας Δόρτσιος

Γιώργος Μήτσιος · #6

Xαιρετώ ! Ευχαριστώ θερμά τους Νίκο ,Κώστα και Μιχάλη για τις απαντήσεις !
Να πω για τον Κώστα ότι είχα την τύχη και την χαρά να τον συναντήσω πριν ένα μήνα στην Λευκάδα !
Ας δώσω για το α' ζητούμενο μια ακόμη προσέγγιση .
Έστω

το μέσον του

και

η τομή των BM,AC

. Το

είναι το ένα κοινό σημείο
του κύκλου των B,I,A

με την

. Αρκεί να δείξουμε ότι το

είναι το άλλο κοινό τους σημείο.
Έχουμε (άσκηση και του σχολικού) $AZ=AC/3=1 \Rightarrow CZ=2=BC$
τότε στο ισοσκελές BCZ

η διχοτόμος CIN

είναι και ύψος οπότε $A\widehat{Z}B=90^{0}+\widehat{C}/2$
ενώ και $A\widehat{I}B=90^{0}+\widehat{C}/2$ (εφαρμογή του σχολικού με

έγκεντρο) επομένως τα B,I,Z,A

είναι ομοκυκλικά.

: 4-12-17 Διχοτόμηση...PNG (8.91 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Στη συνέχεια θα ήθελα να συνδέσω το παρόν με το πρόσφατο σχετικό θέμα του Θανάση (KARKAR) ΕΔΩ .
Ο ''ζηλευτός'' λόγος σύγκρισης εμβαδών εκεί (πολύ κοντά στην μονάδα !) άνοιξε τον δρόμο και για τον εδώ λόγο
που βεβαίως είναι ο ίδιος : $\dfrac{9\pi }{20\sqrt{2}}$ . Στην πράξη μετέφερα πάνω το κάτω ημικύκλιο (διάμετροι AM=MD

)
και αντικατέστησα το μισό τραπέζιο με το τρίγωνο DEC

αφού ισχύει $\left ( DEC \right )=\dfrac{5}{18}\left ( ABC \right )=\dfrac{\left ( BSPC \right )}{2}$

Φιλικά Γιώργος.

Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση