Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών
Καλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.
Το τρίγωνο έχει και έστω το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των τέμνει την στο .
1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .
Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .
Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :
2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.
Ευχαριστώ , Γιώργος .
1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .
Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .
Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :
2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών
α) Ας είναι η τομή του κύκλου με τη . Επειδή
Από τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο έχω :.
Αλλά ομοίως . Τώρα από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα έχω :
.
β) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και έτσι: .
Επειδή = εμβαδόν ημικυκλίου διαμέτρου .
Από τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο έχω :.
Αλλά ομοίως . Τώρα από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα έχω :
.
β) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και έτσι: .
Επειδή = εμβαδόν ημικυκλίου διαμέτρου .
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Δεκ 01, 2017 12:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Παρ Δεκ 01, 2017 2:40 amΚαλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.
Το τρίγωνο έχει και έστω το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των τέμνει την στο .
1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .
Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .
Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :
2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Καλημέρα και καλό μήνα...(και καλό χειμώνα...)
Για το πρώτο ερώτημα εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα.
Από τα δεδομένα των πλευρών του τριγώνου εύκολα προκύπτει ότι είναι:
Επίσης:
γιατί είναι χορδές ίσων τόξων στον ίδιο κύκλο.
Ακόμα από το θεώρημα των εσωτερικών διχοτόμων προκύπτει:
δηλαδή:
Τέλος από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο έχουμε:
Θα υπολογίσουμε πρώτα την από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο
Είναι:
Από την (7) σύμφωνα με τΙς (5), (6) και με το ότι από το τρίγωνο είναι:
προκύπτει ότι:
Τέλος αν στο τρίγωνο εφαρμόχουμε το θεώρημα του Μενελάου, με διατέμνουσα την τότε θα έχουμε:
Αν στην (9) αντικαταστήσουμε την τιμή από την (8) και τις άλλες από τα δεδομένα του προβλήματος
προκύπτει:
δηλαδή το μέσο του ύψους .
Θα ακολουθήσει κι άλλο μήνυμα για το δεύτερο ερώτημα.
Κώστας Δόρτσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Παρ Δεκ 01, 2017 2:40 amΚαλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.
1-12-17 ..Tριγωνισμός (;) ημικυκλίου.PNG
Το τρίγωνο έχει και έστω το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των τέμνει την στο .
1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .
Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .
Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :
2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.
Ευχαριστώ , Γιώργος .
1.Είναι και
Επειδή εγγράψιμο
Επιπλέον εφαπτόμενη του περίκυκλου του .
Άρα
2.Με .Ακόμη, και
=εμβαδόν του εν λόγω ημικυκλίου
Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών
Καλημέρα.Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Παρ Δεκ 01, 2017 2:40 amΚαλημέρα και Καλό μήνα σε όλους ! Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.
Το τρίγωνο έχει και έστω το έγκεντρον αυτού. Το τόξο των τέμνει την στο .
1) Να εξεταστεί αν η διέρχεται από το μέσον του ύψους .
Θεωρούμε το ημικύκλιο με διάμετρο που τέμνει την στο .
Καλείται Γεωμέτρης έμπειρος και στο ...μάτι ... για την συνέχεια :
2) Να γίνει σύγκριση του εμβαδού του τριγώνου με αυτό του ως άνω ημικυκλίου.
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Παραθέτω κι εγώ την απάντηση στο δεύτερο
ερώτημα καθώς το είχα υποσχεθεί στο πρώτο μου μήνυμα,
παρόλο ότι απαντήθηκε από άλλους συναδέλφους.
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Από τα προηγούμενα η ακτίνα του ημικυκλίου είναι:
Άρα το εμβαδόν του ημικυκλίου θα είναι:
Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων προκύπτει:
από την οποία με αντικατάσταση των γνωστών τμημάτων υπολογίζουμε:
Επομένως:
Έτσι για το ζητούμενο εμβαδόν έχουμε:
Για τη σύγκριση θεωρούμε το λόγο:
ο οποίος εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι μικρότερος της μονάδας.
Άρα το ημικύκλιο έχει μικρότερο εμβαδόν από το συγκεκριμένο τρίγωνο.
Κώστας Δόρτσιος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Διχοτόμηση ύψους και σύγκριση εμβαδών
Xαιρετώ ! Ευχαριστώ θερμά τους Νίκο ,Κώστα και Μιχάλη για τις απαντήσεις !
Να πω για τον Κώστα ότι είχα την τύχη και την χαρά να τον συναντήσω πριν ένα μήνα στην Λευκάδα !
Ας δώσω για το α' ζητούμενο μια ακόμη προσέγγιση .
Έστω το μέσον του και η τομή των . Το είναι το ένα κοινό σημείο
του κύκλου των με την . Αρκεί να δείξουμε ότι το είναι το άλλο κοινό τους σημείο.
Έχουμε (άσκηση και του σχολικού)
τότε στο ισοσκελές η διχοτόμος είναι και ύψος οπότε
ενώ και (εφαρμογή του σχολικού με έγκεντρο) επομένως τα είναι ομοκυκλικά. Στη συνέχεια θα ήθελα να συνδέσω το παρόν με το πρόσφατο σχετικό θέμα του Θανάση (KARKAR) ΕΔΩ .
Ο ''ζηλευτός'' λόγος σύγκρισης εμβαδών εκεί (πολύ κοντά στην μονάδα !) άνοιξε τον δρόμο και για τον εδώ λόγο
που βεβαίως είναι ο ίδιος : . Στην πράξη μετέφερα πάνω το κάτω ημικύκλιο (διάμετροι )
και αντικατέστησα το μισό τραπέζιο με το τρίγωνο αφού ισχύει
Φιλικά Γιώργος.
Να πω για τον Κώστα ότι είχα την τύχη και την χαρά να τον συναντήσω πριν ένα μήνα στην Λευκάδα !
Ας δώσω για το α' ζητούμενο μια ακόμη προσέγγιση .
Έστω το μέσον του και η τομή των . Το είναι το ένα κοινό σημείο
του κύκλου των με την . Αρκεί να δείξουμε ότι το είναι το άλλο κοινό τους σημείο.
Έχουμε (άσκηση και του σχολικού)
τότε στο ισοσκελές η διχοτόμος είναι και ύψος οπότε
ενώ και (εφαρμογή του σχολικού με έγκεντρο) επομένως τα είναι ομοκυκλικά. Στη συνέχεια θα ήθελα να συνδέσω το παρόν με το πρόσφατο σχετικό θέμα του Θανάση (KARKAR) ΕΔΩ .
Ο ''ζηλευτός'' λόγος σύγκρισης εμβαδών εκεί (πολύ κοντά στην μονάδα !) άνοιξε τον δρόμο και για τον εδώ λόγο
που βεβαίως είναι ο ίδιος : . Στην πράξη μετέφερα πάνω το κάτω ημικύκλιο (διάμετροι )
και αντικατέστησα το μισό τραπέζιο με το τρίγωνο αφού ισχύει
Φιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες