Ισοσκελείς ενασχολήσεις

KARKAR · #1

: Ισοσκελείς ενασχολήσεις.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Στο τρίγωνο του σχήματος είναι AB=AC=10 , BC=12

, τα σημεία

M,N

είναι μέσα πλευρών και το

σημείο της

, ώστε

.

α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

β) Εξηγήστε γιατί οι πράσινες γωνίες είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε την απόσταση του

από την ευθεία

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2018 1:47 pm
Ισοσκελείς ενασχολήσεις.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος είναι , τα σημεία

είναι μέσα πλευρών και το σημείο της , ώστε .

α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

β) Εξηγήστε γιατί οι πράσινες γωνίες είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε την απόσταση του από την ευθεία .

Καλή ασκησούλα .

Ο θεός να έχει καλά τον και όλους τους άλλους που μας δίνουν ενασχόληση να μη "μουχλιάσει" το μυαλό μας !

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2018 1:47 pm
Ισοσκελείς ενασχολήσεις.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος είναι , τα σημεία

είναι μέσα πλευρών και το σημείο της , ώστε .

α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

β) Εξηγήστε γιατί οι πράσινες γωνίες είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε την απόσταση του από την ευθεία .

Πράγματι ωραία άσκηση!

: Ισοσκελείς ενασχολήσεις.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

α) $\displaystyle BS \cdot BA = 72 = BM \cdot BC,$ άρα το MSAC

είναι εγγράψιμο και η

είναι διάμεσος του ορθογωνίου

τριγώνου ASC,

οπότε $\boxed{SN=5}$

β) $\displaystyle S\widehat AM = M\widehat AC \Leftrightarrow SM = MC = 6 \Leftrightarrow S\widehat NM = 2S\widehat AM = S\widehat AC$

γ) Με τον τύπο του Ήρωνα βρίσκω ότι $\displaystyle (MSN) = 12 \Leftrightarrow \frac{{SN \cdot MP}}{2} = 12 \Leftrightarrow$ $\boxed{MP=\frac{24}{5}}$

ΥΓ. Στο β) ερώτημα θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα τρίγωνα NMS, ABC

είναι όμοια.

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2018 1:47 pm
Στο τρίγωνο του σχήματος είναι , τα σημεία

είναι μέσα πλευρών και το σημείο της , ώστε .

α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

β) Εξηγήστε γιατί οι πράσινες γωνίες είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε την απόσταση του από την ευθεία .

Καλησπέρα. Κάτι παρεμφερές με τη λύση του φίλου Γιώργου!

: shape.png (23.66 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Για τα δύο πρώτα ερωτήματα:

Αφού $7,2 \cdot 10 = 6 \cdot 12 = 72$ , το ACMS

είναι εγγράψιμο και οι «πράσινες» καθώς και οι «γαλάζιες» γωνίες είναι ίσες.

Η $S\widehat MN$ είναι «πράσινη» σαν παραπληρωματική της $S\widehat MB + N\widehat MC$ , οπότε τα τρίγωνα SMN,SBM,CBA

είναι όμοια.

Για το τρίτο ερώτημα:

Από $\dfrac{{8 \cdot 12}}{2}\mathop = \limits^{(ABC)} \dfrac{{10CS}}{2} \Leftrightarrow CS = 9,6$ και από $\triangleleft MPN\mathop \sim \limits^{1:2} \triangleleft CSA \Rightarrow MP = \dfrac{{CS}}{2} = 4,8$

#5

: ισοσκελέις ενασχολήσεις.png (35.1 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N\,$ στην

. Επειδή προφανώς AM = 8

θα είναι : $AM \cdot MB = AB \cdot MK \Rightarrow 48 = 10MK$ .

Συνεπώς: $\boxed{d = KM = NL = \dfrac{{24}}{5}}\,\,(1)$ Από το Π. Θ. στο τρίγωνο LNA

έχω

$AL = \sqrt {25 - \dfrac{{{{24}^2}}}{{25}}} = \sqrt {\dfrac{{{{25}^2} - {{24}^2}}}{{25}}} = \sqrt {\dfrac{{(25 + 24)(25 - 24)}}{{25}}} = \dfrac{7}{5}$ .

Δηλαδή AS = 2AL

που μας εξασφαλίζει ότι το τρίγωνο NAS

είναι ισοσκελές με άμεσες συνέπειες:

$\left\{ \begin{gathered} NS = NA = 5 \hfill \\ \widehat A = \widehat \omega = \widehat \theta \hfill \\ \vartriangle ALN = \vartriangle PNM \Rightarrow PN = d = \dfrac{{24}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Τη λύση αφιερώνω στον Θανάση ( KARKAR

) και του εύχομαι Χρόνια Πολλά για την αυριανή γιορτή του .

KARKAR · #6

Νίκο ευχαριστώ για τις ευχές και κυρίως για την απολαυστική στην απλότητά της λύση !

Σταμ. Γλάρος · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2018 1:47 pm
Ισοσκελείς ενασχολήσεις.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος είναι , τα σημεία

είναι μέσα πλευρών και το σημείο της , ώστε .

α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

β) Εξηγήστε γιατί οι πράσινες γωνίες είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε την απόσταση του από την ευθεία .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ... μόνο με Νόμο Συνημιτόνων στα δύο πρώτα ερωτήματα.
Χρησιμοποιώ το σχήμα του KARKAR, στον οποίο εύχομαι ολόψυχα Χρόνια πολλά και δημιουργικά, για την αυριανή του γιορτή.
α) Από Νόμο Συνημιτόνων στο τρίγωνο ABC

έχουμε : $BC^2 = AB^2 + AC^2 -2\cdot AB \cdot AC \cdot cosA$
Άρα $cosA=\dfrac{7}{25}$ .
Πάλι από Νόμο Συνημιτόνων στο τρίγωνο ASN

έχουμε : $SN^2 = AS^2 + AN^2 -2\cdot AS \cdot AN \cdot cosA$
Άρα SN =5

.

β) Ξανά από Νόμο Συνημιτόνων στο τρίγωνο ABC

έχουμε : $AC^2 = AB^2 + BC^2 -2\cdot AB \cdot BC \cdot cosB$
Άρα $cosB=\dfrac{3}{5}$ .
Επίσης από Νόμο Συνημιτόνων στο τρίγωνο BSM

έχουμε : $SM^2 = BS^2 + BM^2 -2\cdot BS \cdot BM \cdot cosB$
Άρα SM =6

.
Τέλος από Νόμο Συνημιτόνων στο τρίγωνο NSM

έχουμε : $SM^2 = SN^2 + MN^2 -2\cdot SN \cdot MN \cdot cosN$
από όπου προκύπτει $cosN=\dfrac{7}{25}$ .
Αφού τα συνημίτονα είναι θετικά και οι παραπάνω γωνίες είναι γωνίες τριγώνων συμπεραίνουμε ότι $\widehat{A}=\widehat{N}$ .

γ) Τώρα λέω να ... πρωτοτυπήσω! Στο ορθογώνιο τρίγωνο MNP

είναι : $cosN=\dfrac{PN}{MN} = \dfrac{7}{5}$ .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο παραπάνω τρίγωνο προκύπτει $PM=\dfrac{24}{5}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

KARKAR · #8

: Ισοσκελείς ενασχολήσεις.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Αφού ευχαριστήσω τους φίλους για τις ευχές και τις λύσεις , κερνάω ένα ακόμη ερώτημα :

Γράφω τον κύκλο με κέντρο το μέσο της βάσης του ισοσκελούς $\displaystyle ABC$ , ο οποίος εφάπτεται

των ίσων σκελών . Τμήμα

με άκρα στις AB,AC

εφάπτεται αυτού του κύκλου .

Δείξτε ότι : $BS\cdot CN =$ σταθερό .

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 17, 2018 8:56 pm
Ισοσκελείς ενασχολήσεις.png Αφού ευχαριστήσω τους φίλους για τις ευχές και τις λύσεις , κερνάω ένα ακόμη ερώτημα :

Γράφω τον κύκλο με κέντρο το μέσο της βάσης του ισοσκελούς $\displaystyle ABC$ , ο οποίος εφάπτεται

των ίσων σκελών . Τμήμα με άκρα στις εφάπτεται αυτού του κύκλου .

Δείξτε ότι : $BS\cdot CN =$ σταθερό .

: Κέρασμα.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων SBM, NMC:

$\displaystyle \frac{{BS}}{{MC}} = \frac{{BM}}{{CN}} \Leftrightarrow$ $\boxed{BS\cdot CN =\dfrac{a^2}{4}}$

Απόδειξη της ομοιότητας: $\boxed{\widehat B = \widehat C = {90^0} - \widehat {\frac{A}{2}} = N\widehat MS}$ (1)

και

$\displaystyle C\widehat MN = {180^0} - (N\widehat MS + S\widehat MB)\mathop = \limits^{(1)} {180^0} - (\widehat B + S\widehat MB) = B\widehat SM$

Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Re: Ισοσκελείς ενασχολήσεις

Μέλη σε σύνδεση