Μέτρηση τόξου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαίρετε !

: 17-1-18 Μέτρηση τόξου.PNG (7.26 KiB) Προβλήθηκε 1580 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και

ενώ η

είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα C,A,Z

τέμνει την

και στο

.

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου CAP

... Ευχαριστώ , Γιώργος .

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Ιαν 17, 2018 11:58 pm Χαίρετε !
17-1-18 Μέτρηση τόξου.PNG
Το τρίγωνο έχει και ενώ η είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα τέμνει την και στο .

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου ... Ευχαριστώ , Γιώργος .

Πολύ έξυπνο θέμα .

Απάντηση $\boxed{\frac{{112\pi }}{{23}}}$

Πράγματι:

Από Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω :

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {16^2} = {12^2} + {7^2} - 2 \cdot 12 \cdot 7\cos A \hfill \\ {12^2} = {16^2} + {7^2} - 2 \cdot 16 \cdot 7\cos C \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos A = \frac{{ - 3}}{8} \hfill \\ \cos C = \frac{{23}}{{38}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos (\theta + \omega ) = \frac{{ - 3}}{8} \hfill \\ \cos 2\omega = \frac{{23}}{{38}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Μήκος τόξου.png (24.47 KiB) Προβλήθηκε 1530 φορές

Αλλά $\cos 2\omega = 2{\cos ^2}\omega - 1 \Rightarrow \dfrac{{23}}{{32}} = 2{\cos ^2}\omega - 1 \Rightarrow \cos \omega = \dfrac{{\sqrt {55} }}{8}$ οπότε:

$\boxed{\sin \omega = \dfrac{3}{8}}$ δηλαδή $\boxed{\theta = 90^\circ }$ . Τώρα

$\cos C = \dfrac{7}{{PC}} = \dfrac{7}{{2R}} \Rightarrow \dfrac{{23}}{{32}} = \dfrac{7}{{2R}} \Rightarrow \boxed{R = \dfrac{{112}}{{23}}}$

Άρα το ζητούμενο τελικά ημικύκλιο έχει μήκος : $\boxed{l = \frac{{112\pi }}{{23}}}$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Ιαν 17, 2018 11:58 pm Χαίρετε !
17-1-18 Μέτρηση τόξου.PNG
Το τρίγωνο έχει και ενώ η είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα τέμνει την και στο .

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου ... Ευχαριστώ , Γιώργος .

Καλησπέρα!

Θέτω BP=x,BZ=y

: Μέτρηση τόξου.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Από θεώρημα διχοτόμου, $\displaystyle \frac{y}{{12 - y}} = \frac{{16}}{7} \Leftrightarrow$ $\boxed{y=\frac{192}{23}}$ και $\boxed{ZA=ZP=\frac{84}{23}}$

Από τέμνουσες κύκλου $\displaystyle 12y = 16x \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{144}{23}}$ και $\boxed{PC=\frac{224}{23}}$

Είναι ακόμα, $\displaystyle C{Z^2} = AC \cdot BC - BZ \cdot ZA = 112 - \frac{{192}}{{23}} \cdot \frac{{84}}{{23}} \Leftrightarrow$ $\boxed{C{Z^2} = \frac{{43120}}{{{{23}^2}}}}$

$\displaystyle C{Z^2} + Z{P^2} = \frac{{43120}}{{{{23}^2}}} + \frac{{7056}}{{{{23}^2}}} = {\left( {\frac{{224}}{{23}}} \right)^2} = P{C^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{P\widehat ZC=90^0}$

Άρα το μήκος του ζητούμενου τόξου είναι $\displaystyle L = \frac{{PC}}{2}\pi \Leftrightarrow$ $\boxed{L=\frac{112}{23}\pi}$

Ιστοσελίδα · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Ιαν 17, 2018 11:58 pm Χαίρετε !

Το τρίγωνο έχει και ενώ η είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα τέμνει την και στο .

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου ... Ευχαριστώ , Γιώργος .

Καλησπέρα. Προφανώς η άσκηση σχετίζεται με αυτήν, οπότε με $CK \bot BA$ έχουμε:

: shape.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 1488 φορές

${7^2} - {x^2}\mathop = \limits^{K{C^2}} {16^2} - {(12 + x)^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{21}}{8}$

Με Π.Θ στα $\triangleleft KAC, \triangleleft KZC$ παίρνουμε αντίστοιχα $KC = \dfrac{{7\sqrt {55} }}{8},\,ZC = \dfrac{{28\sqrt {55} }}{{23}}$

Τέλος, από $\triangleleft APC \sim \triangleleft KZC \Rightarrow \dfrac{d}{7} = \dfrac{{ZC}}{{KC}} \Leftrightarrow d = \dfrac{{224}}{{23}}$ , οπότε $l = \dfrac{{d\pi }}{2} = \dfrac{{112\pi }}{{23}}$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Νίκο, Γιώργο και Μιχάλη για την άμεση αντιμετώπιση του θέματος
και υποβάλλω στη συνέχεια προσωπική λύση

: 21-1-18 Μέτρηση ..ημικυκλίου.PNG (7.66 KiB) Προβλήθηκε 1427 φορές

Για τις πλευρές του $\triangle ABC$ ισχύει $a^{2}=ab+c^{2}$ ( είναι $16^{2}=16\cdot 7+12^{2}$ )

άρα από την βοηθητική πρόταση ΕΔΩ έπεται $\widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2$ .

Όμως $Z\widehat{A}P=Z\widehat{C}P=\widehat{C}/2$ άρα $P\widehat{A}C=\widehat{A}-Z\widehat{A}P=90^{0}$ και -όπως έχει γραφεί -

το μήκος του ημικυκλίου είναι $l=\dfrac{\pi \cdot PC}{2}=\dfrac{112\pi }{23}$ .. Φιλικά Γιώργος.

makman94 · #6

Ακόμη μία ,

Εικόνα

Έστω Ο το κέντρο του κύκλου , τότε $\triangle OZC$ ισοσκελές και άρα $\angle OZC=\omega$ , άρα $OZ\parallel AC$ .

Συνεπώς, $\frac{BO}{BC}=\frac{ZO}{AC}\Leftrightarrow \frac{16-R}{16}=\frac{R}{7}\Leftrightarrow R=\frac{112}{23}$ .

Οπότε το ζητούμενο ημικύκλιο ισούται με $\pi *R=\frac{112\pi }{23}$

υς: το δεδομένο AB=12

δεν είναι απαραίτητο.

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλημέρα. Ωραίος μεν ο τρόπος , αγαπητέ makman94 για τον υπολογισμό της ακτίνας
αλλά θεωρώ ότι πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι το τόξο είναι πράγματι ημικύκλιο (για να ανήκει το κέντρο στην

).
Αυτό έχει δειχθεί στις προηγούμενες αναρτήσεις με χρήση και του δεδομένου AB=12

.
Εικάζω ότι την ευθύνη φέρει η ..(#5) ανάρτησή μου ,όπου αναφέρεται ως ημικύκλιο .
Αυτό όμως είναι συμπέρασμα και όχι δεδομένο..

Με την ευκαιρία να ευχαριστήσω τον φίλο makman94 για την απάντηση στο ερώτημα που έθεσα στο θέμα ΤΟΥΤΟ.
Φιλικά Γιώργος.

makman94 · #8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Παρ Ιαν 26, 2018 2:01 am Καλημέρα. Ωραίος μεν ο τρόπος , αγαπητέ makman94 για τον υπολογισμό της ακτίνας
αλλά θεωρώ ότι πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι το τόξο είναι πράγματι ημικύκλιο (για να ανήκει το κέντρο στην ).
Αυτό έχει δειχθεί στις προηγούμενες αναρτήσεις με χρήση και του δεδομένου .
Εικάζω ότι την ευθύνη φέρει η ..(#5) ανάρτησή μου ,όπου αναφέρεται ως ημικύκλιο .
Αυτό όμως είναι συμπέρασμα και όχι δεδομένο..

Έχεις απόλυτο δίκιο κ. Γιώργο , μου διέφυγε εντελώς ότι δεν γνωρίζουμε (εξαρχής) ότι πρόκειται για ημικύκλιο.

(Και να ήταν αυτή η πρώτη φορά που διαβάζω βιαστικά τις εκφωνήσεις...)
Ευχαριστώ για την διόρθωση !

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Παρ Ιαν 26, 2018 2:01 am Με την ευκαιρία να ευχαριστήσω τον φίλο makman94 για την απάντηση στο ερώτημα που έθεσα στο θέμα ΤΟΥΤΟ.
Φιλικά Γιώργος.

Ήταν πολύ καλό θέμα (και το αρχικό του επίσης) ,εγώ ευχαριστώ που τα μοιράζεστε

Μέτρηση τόξου

Μέτρηση τόξου

Re: Μέτρηση τόξου

Re: Μέτρηση τόξου

Re: Μέτρηση τόξου

Re: Μέτρηση τόξου

Re: Μέτρηση τόξου

Re: Μέτρηση τόξου

Re: Μέτρηση τόξου

Μέλη σε σύνδεση