Μέτρηση τόξου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 830
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Μέτρηση τόξου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Ιαν 17, 2018 11:58 pm

Χαίρετε !
17-1-18 Μέτρηση τόξου.PNG
17-1-18 Μέτρηση τόξου.PNG (7.26 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=12..AC= 7 και BC=16 ενώ η CZ είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα C,A,Z τέμνει την BC και στο P.

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου CAP... Ευχαριστώ , Γιώργος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5869
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέτρηση τόξου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 18, 2018 5:11 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Ιαν 17, 2018 11:58 pm
Χαίρετε !
17-1-18 Μέτρηση τόξου.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=12..AC= 7 και BC=16 ενώ η CZ είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα C,A,Z τέμνει την BC και στο P.

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου CAP... Ευχαριστώ , Γιώργος .
Πολύ έξυπνο θέμα .

Απάντηση \boxed{\frac{{112\pi }}{{23}}}

Πράγματι:

Από Θ συνημίτονου στο \vartriangle ABC έχω :

\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  {16^2} = {12^2} + {7^2} - 2 \cdot 12 \cdot 7\cos A \hfill \\ 
  {12^2} = {16^2} + {7^2} - 2 \cdot 16 \cdot 7\cos C \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \cos A = \frac{{ - 3}}{8} \hfill \\ 
  \cos C = \frac{{23}}{{38}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \cos (\theta  + \omega ) = \frac{{ - 3}}{8} \hfill \\ 
  \cos 2\omega  = \frac{{23}}{{38}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Μήκος τόξου.png
Μήκος τόξου.png (24.47 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

Αλλά \cos 2\omega  = 2{\cos ^2}\omega  - 1 \Rightarrow \dfrac{{23}}{{32}} = 2{\cos ^2}\omega  - 1 \Rightarrow \cos \omega  = \dfrac{{\sqrt {55} }}{8} οπότε:

\boxed{\sin \omega  = \dfrac{3}{8}} δηλαδή \boxed{\theta  = 90^\circ } . Τώρα

\cos C = \dfrac{7}{{PC}} = \dfrac{7}{{2R}} \Rightarrow \dfrac{{23}}{{32}} = \dfrac{7}{{2R}} \Rightarrow \boxed{R = \dfrac{{112}}{{23}}}

Άρα το ζητούμενο τελικά ημικύκλιο έχει μήκος : \boxed{l = \frac{{112\pi }}{{23}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6968
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέτρηση τόξου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 18, 2018 7:22 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Ιαν 17, 2018 11:58 pm
Χαίρετε !
17-1-18 Μέτρηση τόξου.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=12..AC= 7 και BC=16 ενώ η CZ είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα C,A,Z τέμνει την BC και στο P.

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου CAP... Ευχαριστώ , Γιώργος .
Καλησπέρα!

Θέτω BP=x,BZ=y
Μέτρηση τόξου.png
Μέτρηση τόξου.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές
Από θεώρημα διχοτόμου, \displaystyle \frac{y}{{12 - y}} = \frac{{16}}{7} \Leftrightarrow \boxed{y=\frac{192}{23}} και \boxed{ZA=ZP=\frac{84}{23}}

Από τέμνουσες κύκλου \displaystyle 12y = 16x \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{144}{23}} και \boxed{PC=\frac{224}{23}}

Είναι ακόμα, \displaystyle C{Z^2} = AC \cdot BC - BZ \cdot ZA = 112 - \frac{{192}}{{23}} \cdot \frac{{84}}{{23}} \Leftrightarrow \boxed{C{Z^2} = \frac{{43120}}{{{{23}^2}}}}

\displaystyle C{Z^2} + Z{P^2} = \frac{{43120}}{{{{23}^2}}} + \frac{{7056}}{{{{23}^2}}} = {\left( {\frac{{224}}{{23}}} \right)^2} = P{C^2} \Leftrightarrow \boxed{P\widehat ZC=90^0}

Άρα το μήκος του ζητούμενου τόξου είναι \displaystyle L = \frac{{PC}}{2}\pi  \Leftrightarrow \boxed{L=\frac{112}{23}\pi}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3109
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Μέτρηση τόξου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιαν 18, 2018 9:18 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Ιαν 17, 2018 11:58 pm
Χαίρετε !

Το τρίγωνο ABC έχει AB=12..AC= 7 και BC=16 ενώ η CZ είναι διχοτόμος του.

Ο κύκλος που ορίζεται από τα C,A,Z τέμνει την BC και στο P.

Να υπολογιστεί το μήκος του πράσινου τόξου CAP... Ευχαριστώ , Γιώργος .
Καλησπέρα. Προφανώς η άσκηση σχετίζεται με αυτήν, οπότε με CK \bot BA έχουμε:
shape.png
shape.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές
{7^2} - {x^2}\mathop  = \limits^{K{C^2}} {16^2} - {(12 + x)^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{21}}{8}

Με Π.Θ στα  \triangleleft KAC, \triangleleft KZC παίρνουμε αντίστοιχα KC = \dfrac{{7\sqrt {55} }}{8},\,ZC = \dfrac{{28\sqrt {55} }}{{23}}

Τέλος, από  \triangleleft APC \sim  \triangleleft KZC \Rightarrow \dfrac{d}{7} = \dfrac{{ZC}}{{KC}} \Leftrightarrow d = \dfrac{{224}}{{23}}, οπότε l = \dfrac{{d\pi }}{2} = \dfrac{{112\pi }}{{23}}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 830
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μέτρηση τόξου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιαν 21, 2018 11:58 pm

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Νίκο, Γιώργο και Μιχάλη για την άμεση αντιμετώπιση του θέματος
και υποβάλλω στη συνέχεια προσωπική λύση
21-1-18 Μέτρηση ..ημικυκλίου.PNG
21-1-18 Μέτρηση ..ημικυκλίου.PNG (7.66 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές
Για τις πλευρές του \triangle ABC ισχύει a^{2}=ab+c^{2} ( είναι 16^{2}=16\cdot 7+12^{2})

άρα από την βοηθητική πρόταση ΕΔΩ έπεται \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2.

Όμως Z\widehat{A}P=Z\widehat{C}P=\widehat{C}/2 άρα P\widehat{A}C=\widehat{A}-Z\widehat{A}P=90^{0} και -όπως έχει γραφεί -

το μήκος του ημικυκλίου είναι l=\dfrac{\pi \cdot PC}{2}=\dfrac{112\pi }{23} .. Φιλικά Γιώργος.


makman94
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 14, 2011 11:36 am

Re: Μέτρηση τόξου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makman94 » Παρ Ιαν 26, 2018 1:05 am

Ακόμη μία ,

Εικόνα

Έστω Ο το κέντρο του κύκλου , τότε \triangle OZC ισοσκελές και άρα \angle OZC=\omega, άρα OZ\parallel AC.


Συνεπώς, \frac{BO}{BC}=\frac{ZO}{AC}\Leftrightarrow \frac{16-R}{16}=\frac{R}{7}\Leftrightarrow R=\frac{112}{23}.


Οπότε το ζητούμενο ημικύκλιο ισούται με \pi *R=\frac{112\pi }{23}


υς: το δεδομένο AB=12 δεν είναι απαραίτητο.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 830
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μέτρηση τόξου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 26, 2018 2:01 am

Καλημέρα. Ωραίος μεν ο τρόπος , αγαπητέ makman94 για τον υπολογισμό της ακτίνας
αλλά θεωρώ ότι πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι το τόξο είναι πράγματι ημικύκλιο (για να ανήκει το κέντρο στην PC).
Αυτό έχει δειχθεί στις προηγούμενες αναρτήσεις με χρήση και του δεδομένου AB=12.
Εικάζω ότι την ευθύνη φέρει η ..(#5) ανάρτησή μου ,όπου αναφέρεται ως ημικύκλιο .
Αυτό όμως είναι συμπέρασμα και όχι δεδομένο..


Με την ευκαιρία να ευχαριστήσω τον φίλο makman94 για την απάντηση στο ερώτημα που έθεσα στο θέμα ΤΟΥΤΟ.
Φιλικά Γιώργος.


makman94
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 14, 2011 11:36 am

Re: Μέτρηση τόξου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makman94 » Παρ Ιαν 26, 2018 6:21 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιαν 26, 2018 2:01 am
Καλημέρα. Ωραίος μεν ο τρόπος , αγαπητέ makman94 για τον υπολογισμό της ακτίνας
αλλά θεωρώ ότι πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι το τόξο είναι πράγματι ημικύκλιο (για να ανήκει το κέντρο στην PC).
Αυτό έχει δειχθεί στις προηγούμενες αναρτήσεις με χρήση και του δεδομένου AB=12.
Εικάζω ότι την ευθύνη φέρει η ..(#5) ανάρτησή μου ,όπου αναφέρεται ως ημικύκλιο .
Αυτό όμως είναι συμπέρασμα και όχι δεδομένο..
Έχεις απόλυτο δίκιο κ. Γιώργο , μου διέφυγε εντελώς ότι δεν γνωρίζουμε (εξαρχής) ότι πρόκειται για ημικύκλιο. :wallbash: (Και να ήταν αυτή η πρώτη φορά που διαβάζω βιαστικά τις εκφωνήσεις...)
Ευχαριστώ για την διόρθωση !
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιαν 26, 2018 2:01 am
Με την ευκαιρία να ευχαριστήσω τον φίλο makman94 για την απάντηση στο ερώτημα που έθεσα στο θέμα ΤΟΥΤΟ.
Φιλικά Γιώργος.
Ήταν πολύ καλό θέμα (και το αρχικό του επίσης) ,εγώ ευχαριστώ που τα μοιράζεστε


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης