Eύρεση λόγου και πλευράς

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 794
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Eύρεση λόγου και πλευράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Φεβ 13, 2018 11:55 pm

Καλό βράδυ. Με αφορμή πρόσφατη άσκηση που είδα (στο :logo: βεβαίως ) και μου άρεσε !
13-2-18 ..σε μισό τετράγωνο.PNG
13-2-18 ..σε μισό τετράγωνο.PNG (6.66 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}=90^{0}...AB=AC=k και ισχύει BE=3AE.

Θεωρούμε το σημείο N της BC ώστε η περίμετρος του τριγώνου ENA να είναι P=3k/2.

Τότε 1) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{BN}{NC} .

Αν επιπλέον η ακτίνα του έγκυκλου του τριγώνου ENA είναι r=2 τότε

2) Να βρεθεί η σχέση του αριθμού k με τον ... τρέχοντα μήνα !

Ευχαριστώ , Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Eύρεση λόγου και πλευράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Φεβ 14, 2018 9:05 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Φεβ 13, 2018 11:55 pm
Καλό βράδυ. Με αφορμή πρόσφατη άσκηση που είδα (στο :logo: βεβαίως ) και μου άρεσε !
13-2-18 ..σε μισό τετράγωνο.PNG
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}=90^{0}...AB=AC=k και ισχύει BE=3AE.

Θεωρούμε το σημείο N της BC ώστε η περίμετρος του τριγώνου ENA να είναι P=3k/2.

Τότε 1) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{BN}{NC} .

Αν επιπλέον η ακτίνα του έγκυκλου του τριγώνου ENA είναι r=2 τότε

2) Να βρεθεί η σχέση του αριθμού k με τον ... τρέχοντα μήνα !

Ευχαριστώ , Γιώργος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια... στο 1.
Εύρεση λόγου και πλευράς.png
Εύρεση λόγου και πλευράς.png (19.7 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές
Εύκολα προκύπτει ότι AE=\dfrac{k}{4} . Άρα AN+NE=\dfrac{5k}{4} .
Θεωρώ το τετράγωνο ABCD . Προεκτείνω την AN προς το μέρος του A.
Η προέκτασή της θα τμήσει την πλευρά του τετραγώνου στο F . Φέρω και την ND.
Από την ισότητα των τριγώνων ANC και CND προκύπτει ότι AN=ND .
Έστω ότι το N δεν ανήκει στην DE. Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο EBD
προκύπτει  DE= \dfrac{5k}{4} .Άρα AN+NE=ND+NE=DE=  \dfrac{5k}{4} ..
Εύκολα, τώρα, προκύπτει ότι τα τρίγωνα ABF και EDB είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια,
AB=BD και \widehat{FAB}=\widehat{EDB} ως υπόλοιπα ίσων γωνιών , από την προηγούμενη
ισότητα τριγωνων.
Άρα AF=DE=  \dfrac{5k}{4} και από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ABFπροκύπτει
 BF= \dfrac{3k}{4} .
Επί πλέον τα τρίγωνα BNF και ANC είναι όμοια. Άρα \dfrac{BN}{NC}= \dfrac{BF}{AC}=\dfrac{3}{4} .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6663
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Eύρεση λόγου και πλευράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 15, 2018 6:21 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Φεβ 13, 2018 11:55 pm
Καλό βράδυ. Με αφορμή πρόσφατη άσκηση που είδα (στο :logo: βεβαίως ) και μου άρεσε !
13-2-18 ..σε μισό τετράγωνο.PNG
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}=90^{0}...AB=AC=k και ισχύει BE=3AE.

Θεωρούμε το σημείο N της BC ώστε η περίμετρος του τριγώνου ENA να είναι P=3k/2.

Τότε 1) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{BN}{NC} .

Αν επιπλέον η ακτίνα του έγκυκλου του τριγώνου ENA είναι r=2 τότε

2) Να βρεθεί η σχέση του αριθμού k με τον ... τρέχοντα μήνα !

Ευχαριστώ , Γιώργος


Καλησπέρα!

Για το 2) ερώτημα:
Εύρεση λόγου και πλευράς.png
Εύρεση λόγου και πλευράς.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
\displaystyle (ENA) = \frac{p}{2} \cdot r \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{4} \cdot NH = \frac{{3k}}{4} \cdot 2 \Leftrightarrow \boxed{NH=12}

\displaystyle \frac{{NH}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{12}}{k} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow \boxed{k=28}

Ο k δηλώνει το πλήθος των ημερών του τρέχοντος μηνός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης