Κύκλος με χρυσή ακτίνα.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (5.55 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Καλησπέρα.

Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ πλευράς και το μέσο της $A\Delta$ .
Κύκλος με κέντρο , το οποίο βρίσκεται πάνω στην , διέρχεται από το
και εφάπτεται της $M\Gamma$ στο . Δείξτε ότι η ακτίνα του εν λόγω κύκλου
είναι ίση με $\phi (\phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 27, 2018 5:03 pm
1.png

Καλησπέρα.

Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ πλευράς και το μέσο της $A\Delta$ .
Κύκλος με κέντρο , το οποίο βρίσκεται πάνω στην , διέρχεται από το
και εφάπτεται της $M\Gamma$ στο . Δείξτε ότι η ακτίνα του εν λόγω κύκλου
είναι ίση με $\phi (\phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})$ .

Καλησπέρα!

: Χρυσή ακτίνα.png (12.65 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Εύκολα

και με Π. Θ $\displaystyle MC = \sqrt 5 \Leftrightarrow EC = \sqrt 5 - 1.$ Με Πυθαγόρειο τώρα,

διαδοχικά στα τρίγωνα $\displaystyle OBC,EOC,$ βρίσκω ${\boxed{O{C^2} = {R^2} - 4R + 8}$ (1)

και $\displaystyle {R^2} = O{C^2} - E{C^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{R = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}}$

#3

: Χρυσή ακτίνα.png (21.13 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Έστω

το σημείο επαφής του κύκλου με την

και η

κόψει την

στο

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $DZM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EZN$ έχουν την υποτείνουσα

κοινή και

, άρα είναι ίσα και θα έχουν $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ . Τώρα από το Θ. διχοτόμων

Στο τρίγωνο MDZ

έχω: $DZ = \dfrac{{DC \cdot DM}}{{DM + MC}}$ και άρα $\boxed{DZ = ZE = y = \frac{2}{{1 + \sqrt 5 }}}$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο MOZ

με ύψος

θα έχω :

$M{E^2} = EO \cdot EZ \Rightarrow 1 = xy \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{1}{y} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ .

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 1.png (10.31 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Έστω $P\equiv OE\cap A\Delta$ .
Από το Π.Θ. στο τρίγωνο $M\Delta \Gamma$ παίρνω ότι $M\Gamma =\sqrt{5}$ .
Από την προφανή ισότητα των τριγώνων $MPE, M\Delta \Gamma$ έχω ότι $MP=\sqrt{5}, PE=2$ .
Το Π.Θ. στο τρίγωνο μου δίνει ότι $R=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 02, 2018 1:31 pm
1.png

Έστω $P\equiv OE\cap A\Delta$ .
Από το Π.Θ. στο τρίγωνο $M\Delta \Gamma$ παίρνω ότι $M\Gamma =\sqrt{5}$ .
Από την προφανή ισότητα των τριγώνων $MPE, M\Delta \Gamma$ έχω ότι $MP=\sqrt{5}, PE=2$ .
Το Π.Θ. στο τρίγωνο μου δίνει ότι $R=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

Από το εγγράψιμο $\displaystyle OBCE \Rightarrow \left( {\sqrt 5 + 1} \right) \cdot 2\sqrt 5 = 4 \cdot \left( {2 + R} \right) \Rightarrow \boxed{R = \Phi }$

: Φ.png (10.91 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Κύκλος με χρυσή ακτίνα.

Κύκλος με χρυσή ακτίνα.

Re: Κύκλος με χρυσή ακτίνα.

Re: Κύκλος με χρυσή ακτίνα.

Re: Κύκλος με χρυσή ακτίνα.

Re: Κύκλος με χρυσή ακτίνα.

Μέλη σε σύνδεση