Τέμνονται στην τέμνουσα

#1

: Τέμνονται στην τέμνουσα.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Από σημείο

φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB

ενός κύκλου (O)

και μία τυχούσα τέμνουσα PCD.

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $C\widehat AD, C\widehat BD$ τέμνονται πάνω στην PD.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am
Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Από σημείο φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ενός κύκλου και μία τυχούσα τέμνουσα

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $C\widehat AD, C\widehat BD$ τέμνονται πάνω στην

Έστω $\displaystyle AK$ διχοτόμος της $\displaystyle \angle CAD$

Είναι, $\displaystyle \angle KAP = x + y = \varphi \Rightarrow PA = PK = PB$ $\displaystyle \Rightarrow \omega = {B_1} + \theta = \theta + {B_2} \Rightarrow \boxed{{B_1} = {B_2}}$

: T.S.T.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τετ Απρ 11, 2018 6:27 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am
Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Από σημείο φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ενός κύκλου και μία τυχούσα τέμνουσα Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $C\widehat AD, C\widehat BD$ τέμνονται πάνω στην
Ας δούμε και μια λύση εκτός φακέλου (Προφανώς και η ενδεδειγμένη λύση είναι του Μιχάλη (θα μπορούσε με το ίδιο σκεπτικό να χρησιμοποιηθεί το Θεώρημα Διχοτόμων - ομοιότητα τριγώνων - αντίστροφο Θεωρήματος διχοτόμου).

Αν είναι το μέσο της τότε από την προφανή ομοκυκλικότητα των (σε κύκλο διαμέτρου ) προκύπτει ότι η ευθεία είναι η ευθεία της διχοτόμου του τριγώνου $\vartriangle AMB$ και συνεπώς το έγκεντρό του βρίσκεται επί της με την ευθεία των συμμετροδιαμέσων των τριγώνων $\vartriangle ADC,\vartriangle BDC$ αντίστοιχα προκύπτει άμεσα το ζητούμενο (το σημείο δηλαδή του σχήματος είναι το έγκετρο του $\vartriangle AMB$ )

Στάθης