Σελίδα 1 από 1

Τέμνονται στην τέμνουσα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am
από george visvikis
Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Τέμνονται στην τέμνουσα.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
Από σημείο P φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB ενός κύκλου (O) και μία τυχούσα τέμνουσα PCD.

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών C\widehat AD, C\widehat BD τέμνονται πάνω στην PD.

Re: Τέμνονται στην τέμνουσα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 11, 2018 3:57 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am
Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Από σημείο P φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB ενός κύκλου (O) και μία τυχούσα τέμνουσα PCD.

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών C\widehat AD, C\widehat BD τέμνονται πάνω στην PD.

Έστω \displaystyle AK διχοτόμος της \displaystyle \angle CAD

Είναι, \displaystyle \angle KAP = x + y = \varphi  \Rightarrow PA = PK = PB \displaystyle  \Rightarrow \omega  = {B_1} + \theta  = \theta  + {B_2} \Rightarrow \boxed{{B_1} = {B_2}}
T.S.T.png
T.S.T.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Re: Τέμνονται στην τέμνουσα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 11, 2018 6:29 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 6:27 pm
george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am
Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Από σημείο P φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB ενός κύκλου (O) και μία τυχούσα τέμνουσα PCD. Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών C\widehat AD, C\widehat BD τέμνονται πάνω στην PD.
Ας δούμε και μια λύση εκτός φακέλου (Προφανώς και η ενδεδειγμένη λύση είναι του Μιχάλη (θα μπορούσε με το ίδιο σκεπτικό να χρησιμοποιηθεί το Θεώρημα Διχοτόμων - ομοιότητα τριγώνων - αντίστροφο Θεωρήματος διχοτόμου).

Αν M είναι το μέσο της DC τότε από την προφανή ομοκυκλικότητα των A,M,O,B,P (σε κύκλο διαμέτρου OP ) προκύπτει ότι η ευθεία MP είναι η ευθεία της διχοτόμου του τριγώνου \vartriangle AMB και συνεπώς το έγκεντρό του βρίσκεται επί της PCD με AB την ευθεία των A-,B- συμμετροδιαμέσων των τριγώνων \vartriangle ADC,\vartriangle BDC αντίστοιχα προκύπτει άμεσα το ζητούμενο (το σημείο K δηλαδή του σχήματος είναι το έγκετρο του \vartriangle AMB)


Στάθης

Re: Τέμνονται στην τέμνουσα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 11, 2018 7:22 pm
από KARKAR
Πόρισμα.png
Πόρισμα.png (22.31 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές
Πόρισμα : Αν δύο κύκλοι (O),(P) τέμνονται ορθογωνίως στα A,B, η PCD είναι

μια τέμνουσα του (O) και K είναι το σημείο τομής του (P) με την PCD , τότε

η AK η είναι διχοτόμος της \widehat{DAC} , ( ομοίως η BK η διχοτόμος της \widehat{DBC} ) .