Πολύτιμος κύβος και αρμονική τετράδα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 863
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Πολύτιμος κύβος και αρμονική τετράδα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 22, 2018 2:34 am

Χαιρετώ.
Πολύτιμος...κύβος.PNG
Πολύτιμος...κύβος.PNG (3.98 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει την \widehat{BAC} αμβλεία και \widehat{C}=30^{0}. Στην πλευρά BC θεωρούμε BE=CP=AB.

Αν ισχύει \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( EAP \right )}=\Phi ^{3} (όπου \Phi ο λόγος της χρυσής τομής) τότε

1) Να βρεθεί το μέτρο της \widehat{ABC}

Αν επιπλέον η κάθετη της AE στο A τέμνει την προέκταση της CB στο H τότε

2) Να εξεταστεί αν η τετράδα (H,E,P,C) είναι αρμονική .
Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πολύτιμος κύβος και αρμονική τετράδα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 14, 2018 8:19 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Απρ 22, 2018 2:34 am
Χαιρετώ.
Πολύτιμος...κύβος.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει την \widehat{BAC} αμβλεία και \widehat{C}=30^{0}. Στην πλευρά BC θεωρούμε BE=CP=AB.

Αν ισχύει \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( EAP \right )}=\Phi ^{3} (όπου \Phi ο λόγος της χρυσής τομής) τότε

1) Να βρεθεί το μέτρο της \widehat{ABC}

Αν επιπλέον η κάθετη της AE στο A τέμνει την προέκταση της CB στο H τότε

2) Να εξεταστεί αν η τετράδα (H,E,P,C) είναι αρμονική .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!

Έστω BP=EC=k
Π.Κ και Α.Τ.png
Π.Κ και Α.Τ.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
α) \displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(EAP)}} = {\Phi ^3} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{PE}} = {\Phi ^3} \Leftrightarrow \frac{{k + c}}{{c - k}} = {\Phi ^3} \Leftrightarrow \frac{k}{c} = \frac{{{\Phi ^3} - 1}}{{{\Phi ^3} + 1}}

Αλλά, \displaystyle {\Phi ^3} = \Phi (\Phi  + 1) = {\Phi ^2} + \Phi  = 2\Phi  + 1 \Rightarrow \frac{k}{c} = \frac{{2\Phi }}{{2(\Phi  + 1)}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{k}{c} = \frac{1}{\Phi }} (1)

Νόμος ημιτόνων: \displaystyle \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin {{30}^0}}} \Leftrightarrow \sin A = \frac{{k + c}}{{2c}}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{\Phi  + 1}}{{2\Phi }} = \frac{\Phi }{2}

κι επειδή η \widehat A είναι αμβλεία θα είναι \boxed{\widehat A=180^0-54^0=126^0}

β) \displaystyle BP \cdot BC = k(k + c)\mathop  = \limits^{(1)} \frac{c}{\Phi }\left( {\frac{c}{\Phi } + c} \right) = \frac{{{c^2}(\Phi  + 1)}}{{{\Phi ^2}}} = {c^2}, άρα τα τρίγωνα ABP, ABC είναι όμοια και

\displaystyle \frac{k}{c} = \frac{{AP}}{b} \Leftrightarrow \frac{{c - k}}{k} = \frac{{AP}}{b}, οπότε η AE είναι διχοτόμος της P\widehat AC κι επειδή AE\bot AH επιβεβαιώνεται η αρμονική τετράδα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KDORTSI και 1 επισκέπτης