Πολύτιμος κύβος και αρμονική τετράδα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: Πολύτιμος...κύβος.PNG (3.98 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει την $\widehat{BAC}$ αμβλεία και $\widehat{C}=30^{0}$ . Στην πλευρά

θεωρούμε

.

Αν ισχύει $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( EAP \right )}=\Phi ^{3}$ (όπου $\Phi$ ο λόγος της χρυσής τομής) τότε

1) Να βρεθεί το μέτρο της $\widehat{ABC}$

Αν επιπλέον η κάθετη της

στο

τέμνει την προέκταση της

στο

τότε

2) Να εξεταστεί αν η τετράδα είναι αρμονική .
Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 22, 2018 2:34 am
Χαιρετώ.
Πολύτιμος...κύβος.PNG
Το τρίγωνο έχει την $\widehat{BAC}$ αμβλεία και $\widehat{C}=30^{0}$ . Στην πλευρά θεωρούμε .

Αν ισχύει $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( EAP \right )}=\Phi ^{3}$ (όπου $\Phi$ ο λόγος της χρυσής τομής) τότε

1) Να βρεθεί το μέτρο της $\widehat{ABC}$

Αν επιπλέον η κάθετη της στο τέμνει την προέκταση της στο τότε

2) Να εξεταστεί αν η τετράδα είναι αρμονική .
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα!

Έστω BP=EC=k

: Π.Κ και Α.Τ.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

α) $\displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(EAP)}} = {\Phi ^3} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{PE}} = {\Phi ^3} \Leftrightarrow \frac{{k + c}}{{c - k}} = {\Phi ^3} \Leftrightarrow \frac{k}{c} = \frac{{{\Phi ^3} - 1}}{{{\Phi ^3} + 1}}$

Αλλά, $\displaystyle {\Phi ^3} = \Phi (\Phi + 1) = {\Phi ^2} + \Phi = 2\Phi + 1 \Rightarrow \frac{k}{c} = \frac{{2\Phi }}{{2(\Phi + 1)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{k}{c} = \frac{1}{\Phi }}$ (1)

Νόμος ημιτόνων: $\displaystyle \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin {{30}^0}}} \Leftrightarrow \sin A = \frac{{k + c}}{{2c}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{\Phi + 1}}{{2\Phi }} = \frac{\Phi }{2}$

κι επειδή η $\widehat A$ είναι αμβλεία θα είναι $\boxed{\widehat A=180^0-54^0=126^0}$

β) $\displaystyle BP \cdot BC = k(k + c)\mathop = \limits^{(1)} \frac{c}{\Phi }\left( {\frac{c}{\Phi } + c} \right) = \frac{{{c^2}(\Phi + 1)}}{{{\Phi ^2}}} = {c^2},$ άρα τα τρίγωνα ABP, ABC

είναι όμοια και

$\displaystyle \frac{k}{c} = \frac{{AP}}{b} \Leftrightarrow \frac{{c - k}}{k} = \frac{{AP}}{b},$ οπότε η

είναι διχοτόμος της $P\widehat AC$ κι επειδή $AE\bot AH$ επιβεβαιώνεται η αρμονική τετράδα.

Πολύτιμος κύβος και αρμονική τετράδα

Πολύτιμος κύβος και αρμονική τετράδα

Re: Πολύτιμος κύβος και αρμονική τετράδα

Μέλη σε σύνδεση