mathematica.gr

Με αφορμή την άσκηση εδώ:

Δίνεται ο κύκλος . Να βρεθεί σημείο του κύκλου που απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από το .

Θα ήθελα πλήρη απόδειξη, είτε με Αναλυτική Γεωμετρία ή με Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑

Τρί Μάιος 08, 2018 3:19 pm

Με αφορμή την άσκηση εδώ:

Δίνεται ο κύκλος . Να βρεθεί σημείο του κύκλου που απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από το .

Θα ήθελα πλήρη απόδειξη, είτε με Αναλυτική Γεωμετρία ή με Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Ορέστη,

κάτι τέτοιες ασκήσεις κάναμε πριν χρόνια στη Γ' Λυκείου στους μιγαδικούς. Ας το μεταφράσω με τα εκείνα δεδομένα. Έστω μιγαδικός τέτοιος ώστε η εικόνα τού να ανήκει στο κύκλο επάνω. Τότε . Τότε από τριγωνική ανισότητα έχουμε:


Το οποίο μας δίδει ένα άνω φράγμα για τη τιμή του . Αρκεί να βρούμε έναν μιγαδικό για την οποία να πιάνετε η τιμή . O κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το κέντρο τού είναι το .


Η εξίσωση της ευθείας είναι η η οποία τέμνει ( ξανά ) τον κύκλο στο σημείο το οποίο έχει απόσταση από το ίση με . Αυτό είναι και το ζητούμενο σημείο.

Αποστόλη ευχαριστώ για την απάντηση.

Από αβλεψία, πήρα τον κύκλο να περνάει από την αρχή των αξόνων, οπότε η άσκηση γίνεται προφανής.

Θα μπορούσαμε λοιπόν να πάρουμε τον κύκλο , και να βρούμε την μέγιστη απόσταση ενός σημείου του από το .

Ορέστη,

ό, τι έκανα πάνω κάνε και σε αυτή τη περίπτωση. Εύκολα το προσαρμόζεις. Το κέντρο του κύκλου σου είναι το . Η ευθεία που περνά από τα σημεία έχει εξίσωση . Λύσε το σύστημα της ευθείας και του κύκλου. Το ένα σημείο που θα βρεις θα σου δώσει ελάχιστη απόσταση και το άλλο μέγιστη. Στη συνέχεια η μέγιστη απόσταση είναι συν το κομμάτι της ελάχιστης απόστασης. Το σημείο στο οποίο πιάνεται η μέγιστη θα το βρεις από το σύστημα.

Φιλικά,

Τ.


Γενικά αυτό που κάνεις είναι να παίρνεις τη διάκεντρο που περνά από το σημείο που θες και τη τέμνεις με τον κύκλο.

Καλησπέρα!

Γενικά. Φέρνω από το ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τέμνει τον κύκλο κατά σειρά στα σημεία

και έστω ένα σημείο του κύκλου. Από τριγωνική ανισότητα είναι:


Αλλιώς: και ισχύει είτε το είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, είτε εξωτερικό είτε πάνω στον κύκλο.

george visvikis έγραψε: ↑

Τρί Μάιος 08, 2018 4:30 pm

Καλησπέρα!

Γενικά.

Μέγιστη απόσταση..png

Φέρνω από το ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τέμνει τον κύκλο κατά σειρά στα σημεία

και έστω ένα σημείο του κύκλου. Από τριγωνική ανισότητα είναι:


Αλλιώς: και ισχύει είτε το είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, είτε εξωτερικό είτε πάνω στον κύκλο.

Αυτό ακριβώς ζητούσα Γιώργο!

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑

Τρί Μάιος 08, 2018 4:55 pm

Αυτό ακριβώς ζητούσα Γιώργο!

Ορέστη, για την ιστορία, η σωστή παραπομπή αυτού που ζητάς είναι στα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο , Προτάσεις και .
(Η είναι για εσωτερικά σημεία και η για εξωτερικά).

Βλέπε π.χ. εδώ , σελίδες έως .

Σχόλιο: Ζητώ συγνώμη που παραπέμπω στην συγκεκριμένη έκδοση των Στοιχείων γιατί κατά την επιστημονική μου γνώμη
α) πάμπολλα στοιχεία είναι παρμένα από την αντίστοιχη έκδοση του Heath και
β) η συγκεκριμένη έκδοση περιέχει, δυστυχώς, σοβαρές ανακρίβειες.
Από δω που βρίσκομαι δεν βρίσκω άλλη παραπομπή, οπότε εκών άκων δίνω την παραπάνω.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑

Τρί Μάιος 08, 2018 3:19 pm

Με αφορμή την άσκηση εδώ:

Δίνεται ο κύκλος . Να βρεθεί σημείο του κύκλου που απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από το .

Θα ήθελα πλήρη απόδειξη, είτε με Αναλυτική Γεωμετρία ή με Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Αντιγράφω πιστά (μετατροπή στην δημοτική για τεχνικούς λόγους) από το βιβλίο του
Ι.Γ.ΙΩΑΝΝΙΔΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 1970
σελ 227 Θεώρημα 3.128
Θεωρούμε ένα σημείο P του επιπέδου ενός κύκλου (c) και τα κοινά σημεία Α και Α' του (c) με την ευθεία PO
(Α προς το μέρος του Ο προς το οποίο κείται το P).
Αν είναι Μ ένα τυχόν σημείο του (c) διάφορο των Α και Α', τότε ισχύουν οι σχέσεις :
PA<PM και PA'>PM.
σημείωση (δική μου)Με Ο ο Ιωαννίδης συμβολίζει το κέντρο του κύκλου.
Απόδειξη.
Ιδία με την δεύτερη του Γιώργου παραπάνω.

Να σημειώσω ότι το παραπάνω είναι πρόταση της Απολύτου Γεωμετρίας.
Δηλαδή ισχύει ανεξάρτητα αν δεχθούμε το Ευκλείδιο αίτημα.

Πιστεύω να μου επιτρέπει ο Γιώργος να κάνω κριτική στην πρώτη απόδειξη.
Η πρώτη απόδειξη του Γιώργου χρησιμοποιεί εμμέσως το Ευκλείδιο αίτημα.
Το Ευκλείδιο αίτημα είναι ισοδύναμο με το ότι το άθροισμα των γωνιών κάποιου τριγώνου είναι 2 ορθές.
Αν λοιπόν δεχθούμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία σε διάμετρο είναι ορθή εύκολα βλέπουμε ότι υπάρχει τρίγωνο
με άθροισμα γωνιών 2 ορθές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τρί Μάιος 08, 2018 10:40 pm

Αντιγράφω πιστά (μετατροπή στην δημοτική για τεχνικούς λόγους) από το βιβλίο του
Ι.Γ.ΙΩΑΝΝΙΔΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 1970
σελ 227 Θεώρημα 3.128

Ή 4η άσκηση στις αποδεικτικές της παραγράφου 3.12 του σχολικού βιβλίου Γεωμετρίας Α' Λυκείου.