Τετράγωνο και λόγος.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 958
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράγωνο και λόγος.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm

1.png
1.png (4.2 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το M μέσο της AB.
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{\chi }{y}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1296
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 22, 2018 11:12 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το M μέσο της AB.
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{\chi }{y}.
\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3} η λύση αύριο αν δεν απαντηθεί.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 22, 2018 11:52 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το M μέσο της AB.
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{\chi }{y}.

Από τα εγγράψιμα \displaystyle EDFC,ECBM οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,άρα \displaystyle \vartriangle FDC = \vartriangle CMB \Rightarrow FD = MB = \frac{\alpha }{2}

Στο \displaystyle \vartriangle DBA με διατέμνουσα \displaystyle MEF \Rightarrow \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{3}}
t.k.l.png
t.k.l.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μάιος 25, 2018 11:10 pm

Καλησπέρα.Παραλλαγή της λύσης του Μιχάλη προς το τέλος, χωρίς Μενέλαο.
Τετράγωνο  και λόγος.PNG
Τετράγωνο και λόγος.PNG (11.65 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Οι κύκλοι του σχήματος έχουν διαμέτρους CI=CM=2R. Με τον Ν.Ημιτόνων:

\dfrac{DE}{\eta  \mu \theta }=2R=\dfrac{BE}{\eta \mu \omega }\Rightarrow \dfrac{DE}{BE}=\dfrac{\eta \mu \theta }{\eta \mu \widehat{AMI}}=\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{1}{3}
Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 26, 2018 12:17 am

Το αντίστροφο της πιο πάνω άσκησης υπάρχει σαν άσκηση( άλυτη) διανυσματικής γεωμετρίας των Π.Κ. Βασιλειάδη και Γ.Λ. Μαυρίδη

( Έκδοση του Μαΐου 1977 σελίδα 120 άσκηση 168) . Η άσκηση αναφέρει πατρότητα Nikolae    Soare .

Έχω για την συγκεκριμένη άσκηση 2 ακόμη λύσεις . Με πρώτη ευκαιρία θα γράψω κάποια.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 26, 2018 2:18 am

τετράγωνο και λόγος_Φάνης.png
τετράγωνο και λόγος_Φάνης.png (21.3 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές

Το τετράπλευρο MBCE είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου MC .

οι χορδές ME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE αυτού του κύκλου θα είναι ίσες αφού η BE διχοτομεί την ορθή γωνία στο C.

Θεωρώ τις προβολές O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T των C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M πάνω στη BD .

Επειδή \widehat \theta  = \widehat \omega ως οξείες με κάθετες πλευρές, θα είναι \vartriangle OEC = \vartriangle TME .

Άμεση συνέπεια : \left\{ \begin{gathered} 
  OE = MT = TB = OT\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ 
  OC = ET = OB = OD \hfill \\  
\end{gathered}  \right. , οπότε προφανώς \boxed{EB = 3ED}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μάιος 26, 2018 3:51 am

Καλημέρα.
Τετράγωνο  και λόγος. 2PNG.PNG
Τετράγωνο και λόγος. 2PNG.PNG (6.3 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές
Όπως γράφει ο Νίκος EC=EM. Έστω BC=2..BM=1 . Τότε διαδοχικά με το Π.Θ είναι

 OC=BD/2 =\sqrt{2}..CM^{2}=5..CE^{2}=5/2..OE=\sqrt{2}/2 δηλ. OE=BD/4..
Φιλικά Γιώργος.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Μάιος 26, 2018 5:48 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το M μέσο της AB.
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{\chi }{y}.
Το τετράπλευρο ABCD είναι εγράψιμο σε κύκλο άρα \hat{EBM}=\hat{ECM}=45^{0},EC=EM,MC^{2}=\dfrac{5a^{2}}{4 },EM=EC=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ECBM,\dfrac{2a}{2\sqrt{2}}+\dfrac{a}{2\sqrt{2}}=y\Leftrightarrow y=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}, x+y=DB=a\sqrt{2},x=\dfrac{a\sqrt{2}}{4},\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}




Γιάννης
Συνημμένα
Τετράγωνο και λόγος.png
Τετράγωνο και λόγος.png (77.83 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μάιος 26, 2018 6:33 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το M μέσο της AB.
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{\chi }{y}.
Άλλη μια ...

Επειδή \displaystyle CEMB εγγράψιμο οι μπλε γωνίες είναι ίσες άρα

\displaystyle \vartriangle DEC \simeq \vartriangle CAM \Rightarrow \frac{{DE}}{{AM}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow DE = \frac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow EC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}

Έτσι \displaystyle \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{3}}
t.k.l.png
t.k.l.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνο και λόγος.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μάιος 26, 2018 7:02 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το M μέσο της AB.
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{\chi }{y}.

Κι αλλιώς...

\displaystyle \cot \theta  = \frac{{MB}}{{BC}} = \frac{1}{2} = \frac{{EO}}{{OC}} \Rightarrow EO = \frac{{OB}}{2} \Rightarrow ..\[ \Rightarrow DE = EO = x,EB = 3x

Άρα \displaystyle \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{3}}

t.k.l.png
t.k.l.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης