Τετράγωνο και λόγος.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (4.2 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο και το μέσο της .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\chi }{y}$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm

1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο και το μέσο της .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\chi }{y}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο και το μέσο της .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\chi }{y}$ .

Από τα εγγράψιμα $\displaystyle EDFC,ECBM$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,άρα $\displaystyle \vartriangle FDC = \vartriangle CMB \Rightarrow FD = MB = \frac{\alpha }{2}$

Στο $\displaystyle \vartriangle DBA$ με διατέμνουσα $\displaystyle MEF \Rightarrow \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{3}}$

: t.k.l.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλησπέρα.Παραλλαγή της λύσης του Μιχάλη προς το τέλος, χωρίς Μενέλαο.

: Τετράγωνο και λόγος.PNG (11.65 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Οι κύκλοι του σχήματος έχουν διαμέτρους CI=CM=2R

. Με τον Ν.Ημιτόνων:

$\dfrac{DE}{\eta \mu \theta }=2R=\dfrac{BE}{\eta \mu \omega }\Rightarrow \dfrac{DE}{BE}=\dfrac{\eta \mu \theta }{\eta \mu \widehat{AMI}}=\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{1}{3}$
Φιλικά , Γιώργος.

#5

Το αντίστροφο της πιο πάνω άσκησης υπάρχει σαν άσκηση( άλυτη) διανυσματικής γεωμετρίας των Π.Κ. Βασιλειάδη και Γ.Λ. Μαυρίδη

( Έκδοση του Μαΐου 1977 σελίδα 120 άσκηση 168) . Η άσκηση αναφέρει πατρότητα Nikolae Soare

.

Έχω για την συγκεκριμένη άσκηση 2 ακόμη λύσεις . Με πρώτη ευκαιρία θα γράψω κάποια.

#6

: τετράγωνο και λόγος_Φάνης.png (21.3 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Το τετράπλευρο MBCE

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

οι χορδές $ME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ αυτού του κύκλου θα είναι ίσες αφού η

διχοτομεί την ορθή γωνία στο

.

Θεωρώ τις προβολές $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ των $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ πάνω στη

.

Επειδή $\widehat \theta = \widehat \omega$ ως οξείες με κάθετες πλευρές, θα είναι $\vartriangle OEC = \vartriangle TME$ .

Άμεση συνέπεια : $\left\{ \begin{gathered} OE = MT = TB = OT\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ OC = ET = OB = OD \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , οπότε προφανώς $\boxed{EB = 3ED}$

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλημέρα.

: Τετράγωνο και λόγος. 2PNG.PNG (6.3 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Όπως γράφει ο Νίκος EC=EM

. Έστω

. Τότε διαδοχικά με το Π.Θ είναι

$OC=BD/2 =\sqrt{2}..CM^{2}=5..CE^{2}=5/2..OE=\sqrt{2}/2$ δηλ. OE=BD/4

..
Φιλικά Γιώργος.

STOPJOHN · #8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο και το μέσο της .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\chi }{y}$ .

Το τετράπλευρο ABCD

είναι εγράψιμο σε κύκλο άρα $\hat{EBM}=\hat{ECM}=45^{0},EC=EM,MC^{2}=\dfrac{5a^{2}}{4 },EM=EC=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο $ECBM,\dfrac{2a}{2\sqrt{2}}+\dfrac{a}{2\sqrt{2}}=y\Leftrightarrow y=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}, x+y=DB=a\sqrt{2},x=\dfrac{a\sqrt{2}}{4},\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο και το μέσο της .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\chi }{y}$ .

Άλλη μια ...

Επειδή $\displaystyle CEMB$ εγγράψιμο οι μπλε γωνίες είναι ίσες άρα

$\displaystyle \vartriangle DEC \simeq \vartriangle CAM \Rightarrow \frac{{DE}}{{AM}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow DE = \frac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow EC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}$

Έτσι $\displaystyle \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{3}}$

: t.k.l.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 10:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο και το μέσο της .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\chi }{y}$ .

Κι αλλιώς...

$\displaystyle \cot \theta = \frac{{MB}}{{BC}} = \frac{1}{2} = \frac{{EO}}{{OC}} \Rightarrow EO = \frac{{OB}}{2} \Rightarrow ..\[ \Rightarrow DE = EO = x,EB = 3x$

Άρα $\displaystyle \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{3}}$

: t.k.l.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Τετράγωνο και λόγος.

Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Re: Τετράγωνο και λόγος.

Μέλη σε σύνδεση