Από το μέσο του ύψους

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Από το μέσο του ύψους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 24, 2018 1:09 pm

Από το μέσο του ύψους.png
Από το μέσο του ύψους.png (15.4 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές
Σημείο A κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου BC και έστω D η προβολή του πάνω στη διάμετρο. Αν ο κύκλος (A, AD)

τέμνει το ημικύκλιο στα P, Q, να δείξετε ότι η PQ διέρχεται από το μέσο του AD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από το μέσο του ύψους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 24, 2018 1:45 pm

Απο το μέσο του ύψους.png
Απο το μέσο του ύψους.png (22.95 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
MP \cdot MQ = MS \cdot MF = MA \cdot MT . Άρα :

MS \cdot MD = MA \cdot MT \Rightarrow x(y + R) = y(x + R) \Rightarrow x = y

Σε λίγο θ αρχίσουν μάλλον και παραπομπές .


Αλλιώς:
Απο το μέσο του ύψους_new.png
Απο το μέσο του ύψους_new.png (34.46 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές
Αν οι η PQ κόψει τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat B = \widehat {{a_2}} \hfill \\ 
  \widehat C = \widehat {{a_4}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Άρα το τετράπλευρο ASDT είναι ορθογώνιο , οπότε οι διαγώνιοι του διχοτομούνται .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από το μέσο του ύψους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 24, 2018 6:33 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 24, 2018 1:45 pm
Απο το μέσο του ύψους.png

Σε λίγο θ αρχίσουν μάλλον και παραπομπές .
Μου κάνει εντύπωση που δεν έχει επέμβει ακόμα ο KARKAR!


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Από το μέσο του ύψους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 24, 2018 8:18 pm

Έλειψα κάνα δίωρο . Μιλάμε για κάτι τέτοιο


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από το μέσο του ύψους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 25, 2018 5:08 pm

Τελικά υπάρχει και εδώ και εδώ (όπου είναι η πρώτη φορά που εμφανίζεται με θεματοδότη τον KARKAR και μοναδικό λύτη το Νίκο Φραγκάκη).


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Από το μέσο του ύψους

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μάιος 25, 2018 6:04 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 24, 2018 1:09 pm
Από το μέσο του ύψους.png Σημείο A κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου BC και έστω D η προβολή του πάνω στη διάμετρο. Αν ο κύκλος (A, AD)

τέμνει το ημικύκλιο στα P, Q, να δείξετε ότι η PQ διέρχεται από το μέσο του AD.
μέσον.png
μέσον.png (15.1 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Από το μέσο του ύψους

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 25, 2018 10:32 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 24, 2018 1:09 pm
Σημείο A κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου BC και έστω D η προβολή του πάνω στη διάμετρο. Αν ο κύκλος (A, AD)

τέμνει το ημικύκλιο στα P, Q, να δείξετε ότι η PQ διέρχεται από το μέσο του AD.
Μέσο  ύψους.png
Μέσο ύψους.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Συμπληρωματικό ερώτημα : Δείξτε ότι ο κύκλος διαμέτρου DC εφάπτεται της PQ

και μάλιστα δείξτε ότι το σημείο επαφής S είναι σημείο της πλευράς AC .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από το μέσο του ύψους

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 25, 2018 11:11 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 10:32 pm
george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 24, 2018 1:09 pm
Σημείο A κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου BC και έστω D η προβολή του πάνω στη διάμετρο. Αν ο κύκλος (A, AD)

τέμνει το ημικύκλιο στα P, Q, να δείξετε ότι η PQ διέρχεται από το μέσο του AD.
Μέσο ύψους.png
Συμπληρωματικό ερώτημα : Δείξτε ότι ο κύκλος διαμέτρου DC εφάπτεται της PQ

και μάλιστα δείξτε ότι το σημείο επαφής S είναι σημείο της πλευράς AC .
Από το μέσο του ύψους.II.png
Από το μέσο του ύψους.II.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
Παίρνω στην AC σημείο S, ώστε MS=MA=MD. Τότε το τρίγωνο SAD είναι ορθογώνιο, άρα το S είναι σημείο

του ημικυκλίου διαμέτρου DC και κέντρου K. Επειδή όμως KS=KD και MS=MD, το MSKD είναι χαρταετός,

οπότε \displaystyle KS \bot PQ. και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης