Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Al.Koutsouridis · #1

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο

και το μήκος της διαγωνίου

είναι ίσο με

. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AOD

και

, είναι ίση με

. Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AOB

, είναι ίση με

. Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ABCD

.

nikkru · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 8:56 pm
Στο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο και το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με . Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και , είναι ίση με . Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , είναι ίση με . Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Έστω

τα κέντρα των κύκλων :

$(K) \to (O,D,A)\,\,\,,\,\,(L) \to (O,D,C)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(M) \to (O,A,B)$ . οι κύκλοι $(M)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(L)$

είναι ίσοι ακτίνας

και εφάπτονται εξωτερικά στο

Αν η διάκεντρος

κόψει

την κοινή χορδή

στο

, τότε το τρίγωνο ορθογώνιο τρίγωνο NLO

έχει

$OL = 5\,\,,\,\,ON = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NL = 4 \Rightarrow \boxed{KN = 12}$ . Η γωνία $\widehat {NLO}$ έχει συνημίτονο $\dfrac{4}{5}$

: Εμβαδόν παραλληλογράμμου _ok.png (30.57 KiB) Προβλήθηκε 1241 φορές

οπότε από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle KLM$ έχω $\boxed{KM = 10}$ δηλαδή το $\vartriangle MKL$ είναι

ισοσκελές και έτσι KM//DL

. Αυτό μας εξασφαλίζει ότι και η $DL \bot AO$ και

αφού MB//DL

θα είναι τα K,M,B

σε ευθεία . Μετά απ’ αυτά θα είναι

AB = BO = OD = DC = 6

και αφού $\sin \widehat {ODC} = \dfrac{{24}}{{25}}$ θα είναι : (ABCD) = 4(ODC)

.

Δηλαδή , $\boxed{(ABCD) = 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{{24}}{{25}} = \frac{{1728}}{{25}}}$ .

nikkru · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 8:56 pm
Στο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο και το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με . Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και , είναι ίση με . Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , είναι ίση με . Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου .

Τα τρίγωνα OAB,OCD

είναι ίσα άρα έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους, έτσι ND=5

.

Αν

αποστήματα και

το μέσο του

, είναι

άρα $MO \perp AC (1)$ .

Η διάκεντρος

είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής των δύο κύκλων άρα OT=TD=3

.

: Εμβαδό Παραλληλογράμμου.png (44.37 KiB) Προβλήθηκε 1182 φορές

.
Από το Π.Θ. στο ορθ. τρίγωνα NTD , KTD

είναι $NT=4,KD=R= \sqrt{153}$ . Oι MN,OD

διχοτομούνται κάθετα, άρα το OMND

ρόμβος

.

Από $(1),(2) \Rightarrow NN' \equiv ND \Rightarrow DC=DO=6$ .

Είναι $D\widehat{N}T=\frac{D\widehat{N}O}{2}=D\widehat{C}O$ και $D\widehat{K}T=\frac{D\widehat{K}O}{2}=D\widehat{A}O$ οπότε τα τρίγωνα ADC,KDN

είναι όμοια και $\frac{CD}{DN}=\frac{KN}{AC} \Rightarrow AC= \frac{16 \cdot 6}{5}=19,2$ .

Τελικά, $\left ( ABCD \right )=4\left ( ODC \right )=4\frac{OD \cdot DC \cdot OC}{4ND}=\frac{6 \cdot 6 \cdot 9,6}{5}= 69,12$ .

Al.Koutsouridis · #5

Να ευχαριστήσω τους κ.Νίκο και nikkru για τις λύσεις. Να σημειώσουμε όμως ότι και οι δυο παραπάνω λύσεις βασίζονται στο πως κάνουμε αρχικά το σχήμα. Υπάρχει και άλλο τελικό αποτέλεσμα για το εμβαδόν

.

nikkru · #6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 8:56 pm
Στο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο και το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με . Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και , είναι ίση με . Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , είναι ίση με . Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου .
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 26, 2018 9:40 pm
Να ευχαριστήσω τους κ.Νίκο και nikkru για τις λύσεις. Να σημειώσουμε όμως ότι και οι δυο παραπάνω λύσεις βασίζονται στο πως κάνουμε αρχικά το σχήμα. Υπάρχει και άλλο τελικό αποτέλεσμα για το εμβαδόν .

Πράγματι, στην κατασκευή του σχήματος έχουμε δύο περιπτώσεις για το κέντρο

του περιγ. κύκλου του τριγώνου ODC

.

Το σημείο

μπορεί να είναι εξωτερικό (παραπάνω λύση) ή εσωτερικό του κύκλου

.

Μια λύση ( κάπως πιο σύντομη) για την 2η περίπτωση .

Από το Π.Θ. στα ορθογώνια τρίγωνα NTD,MTD

είναι $NT=4, DM=\sqrt{153}$ .

Τα τρίγωνα NMD,COD

είναι όμοια, άρα $DC=\frac{5}{\sqrt{17}},OC=\frac{16}{\sqrt{17}}$ .

Το εμβαδόν σ'αυτή την περίπτωση είναι: $(ABCD)=4(ODC)=4\frac{OD \cdot DC \cdot OC}{4 \cdot ND}=\frac{192}{17}$
.

: Εμβαδό Παραλληλογράμμου_2.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές

Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Μέλη σε σύνδεση