Εύρεση πλευράς σε ρόμβο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3258
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εύρεση πλευράς σε ρόμβο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Μάιος 27, 2018 6:58 pm

shape.png
shape.png (24.28 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Δίνεται ρόμβος ABCD και σημείο E, επί της BC, τέτοιο ώστε BE = 4EC = 8.

Επί της AC παίρνουμε σημείο Z, τέτοιο ώστε AZ = 10 και \angle BZE = {90^ \circ }. Να βρείτε το μήκος του τμήματος BZ = x


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8767
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση πλευράς σε ρόμβο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 27, 2018 8:23 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Μάιος 27, 2018 6:58 pm
shape.pngΔίνεται ρόμβος ABCD και σημείο E, επί της BC, τέτοιο ώστε BE = 4EC = 8.

Επί της AC παίρνουμε σημείο Z, τέτοιο ώστε AZ = 10 και \angle BZE = {90^ \circ }. Να βρείτε το μήκος του τμήματος BZ = x
Καλησπέρα Μιχάλη!
Ρόμβος!!.png
Ρόμβος!!.png (16.11 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές
Η κάθετη από το B στην BZ τέμνει την CA στο H. Εύκολα, BA=AZ=AH=10.

ZE||BH, \displaystyle \frac{y}{{y + 20}} = \frac{2}{{10}} \Leftrightarrow \boxed{y=5} και από Stewart στο τρίγωνο BZC:

\displaystyle 2{x^2} + 200 = 10(64 - {x^2}) + 160 \Leftrightarrow \boxed{x=\sqrt {50}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1173
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εύρεση πλευράς σε ρόμβο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μάιος 28, 2018 1:01 am

Χαιρετώ!
Εύρεση πλευράς .. Μ.Ν.PNG
Εύρεση πλευράς .. Μ.Ν.PNG (7.46 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Φέρω BO \perp AC και AMN \perp BZ . Τότε MN \parallel  ZE και M μέσον της BZ άρα και N μέσον της BE.

Από το Θ.Θαλή προκύπτει ZC=5 \Rightarrow  OA=OC=\dfrac{15}{2}..OZ=\dfrac{5}{2}

Με το Π.Θ στο τρίγωνο ABO παίρνουμε OB^{2}=\dfrac{175}{4} και έπειτα στο BOZ βρίσκουμε BZ= \sqrt{50}
Φιλικά , Γιώργος .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1733
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εύρεση πλευράς σε ρόμβο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μάιος 28, 2018 1:57 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Μάιος 27, 2018 6:58 pm
shape.pngΔίνεται ρόμβος ABCD και σημείο E, επί της BC, τέτοιο ώστε BE = 4EC = 8.

Επί της AC παίρνουμε σημείο Z, τέτοιο ώστε AZ = 10 και \angle BZE = {90^ \circ }. Να βρείτε το μήκος του τμήματος BZ = x

Με \displaystyle CQ \bot ZE και \displaystyle CQ = x \Rightarrow \frac{{BZ}}{x} = \frac{{BE}}{{EC}} = 4 \Rightarrow BZ = 4x

Λόγω ισότητας των κόκκινων γωνιών , θα είναι \displaystyle ZC = CT κι επειδή λόγω

του ορθογωνίου \displaystyle ZQCS είναι \displaystyle ZS = QC = x,θα είναι και \displaystyle ST = x

Έτσι, \displaystyle \frac{{AB}}{{TC}} = \frac{{BZ}}{{ZT}} = 2 \Rightarrow CT = \frac{{AB}}{2} = 5 και \displaystyle Z είναι κ.βάρους του \displaystyle \vartriangle DBC άρα \displaystyle OZ = \frac{5}{2}

Τέλος,με Γ.Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle BZC \Rightarrow Z{B^2} = 50 \Rightarrow \boxed{ZB = \sqrt {50} }
E.P.S.R.png
E.P.S.R.png (26.92 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1542
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εύρεση πλευράς σε ρόμβο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 28, 2018 9:30 am

Καλημέρα σε όλους!

Φέρνουμε AL \perp BZ, και EK \parallel AC, K \in AB.

Έστω N \equiv AL \cap KE, M \equiv KE \cap BZ.

Έστω x=BZ=10y. Τότε, αφού AB=AZ=10 \Rightarrow LB=LZ=5y, και αφού EM \parallel ZC \Rightarrow \dfrac{BM}{MZ}=\dfrac{8}{2} \Rightarrow BM=4MZ \Rightarrow MZ=2y, ML=3y.

Αφού NL \perp BZ, EZ \perp BZ \Rightarrow \vartriangle NML όμοιο με \vartriangle EMZ \, \Rightarrow \dfrac{NM}{ME}=\dfrac{3y}{2y} \Rightarrow NM=\dfrac{3}{2}ME (1).

Αφού AN \parallel ZE, AZ \parallel NE \Rightarrow ANEZ παραλληλόγραμμο. Άρα, NE=10 \Rightarrow NM+ME=10 \Rightarrow \dfrac{5}{2}ME=10 \Rightarrow ME=4 (χρησιμοποιήθηκε η (1)).

Με Π.Θ. τώρα στο \vartriangle BZE \Rightarrow ZE=\sqrt{64-100y^2}, και με Π.Θ. στο \vartriangle MZE \Rightarrow 4y^2+64-100y^2=16 \Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow BZ=10y=5\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{x=5\sqrt{2}}.
Nannos.png
Nannos.png (50.65 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες