Σελίδα 1 από 1

Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 28, 2018 11:47 am
από Al.Koutsouridis
Τραπέζιο με βάση \sqrt{8} και ύψος \sqrt{3}+\sqrt{2} είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας \sqrt{5}. Ο καθένας από τους τέσσερις κυκλικούς τομείς που αποκόβει κάθε πλευρά του, αντανακλάται συμμετρικά ως προς την εκάστοτε πλευρά, στο εσωτερικό του τραπεζίου. Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος, που αποτελείται από εκείνα τα σημεία του τραπεζίου, τα οποία δεν ανήκουν σε κανένα από τους κυκλικούς τομείς που έχουν αντανακλαστεί.


Θέμα 5ο των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, 2001.

Re: Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 30, 2018 5:42 pm
από Σταμ. Γλάρος
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Μάιος 28, 2018 11:47 am
Τραπέζιο με βάση \sqrt{8} και ύψος \sqrt{3}+\sqrt{2} είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας \sqrt{5}. Ο καθένας από τους τέσσερις κυκλικούς τομείς που αποκόβει κάθε πλευρά του, αντανακλάται συμμετρικά ως προς την εκάστοτε πλευρά, στο εσωτερικό του τραπεζίου. Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος, που αποτελείται από εκείνα τα σημεία του τραπεζίου, τα οποία δεν ανήκουν σε κανένα από τους κυκλικούς τομείς που έχουν αντανακλαστεί.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια, ελπίζοντας ότι δεν έχω κάνει παρανόηση...
Εμβαδόν κυκλικού τμήματος.png
Εμβαδόν κυκλικού τμήματος.png (27.54 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές
Αφού BC=\sqrt{8} είναι HC=\sqrt{2} .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο KHC έχουμε KH=\sqrt{3} .
Άρα KM=\sqrt{2} .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο KMD έχουμε MD=\sqrt{3} .
Τώρα το εμβαδόν του τραπεζίου είναι : (ABCD)= \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2} .
Το εμβαδόν του κύκλου είναι :E_{\kappa \upsilon \kappa .}= 5\pi .
Άρα το εμβαδόν των τεσσάρων κυκλικών τμημάτων είναι :E_{\kappa \upsilon \kappa . \tau\mu\eta\mu. }= 5\pi -\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2} .
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι : E=(ABCD) - E_{\kappa \upsilon \kappa . \tau\mu\eta\mu. }= 2\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2}-5\pi .
Ελπίζω να μην ... κατέστρεψα την ωραία άσκηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Re: Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 31, 2018 9:06 pm
από Al.Koutsouridis
Να σημειώσουμε ότι στην παραπάνω λύση (ωραία σκέψη) υποτίθεται ότι οι κυκλικοί τομείς δεν επικαλύπτονται. Ισχύει όμως κάτι τέτοιο; Αν ναι ή όχι, γιατί;

Re: Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 03, 2019 10:47 pm
από Al.Koutsouridis
Επαναφορά. Νομίζω το πρόβλημα είναι αρκετά διδακτικό.