Έλλειψη

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έλλειψη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 13, 2018 8:35 am

Έλλειψη.png
Έλλειψη.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Οι κορυφές A και B του ορθογωνίου τριγώνου ABS είναι σταθερές , ενώ η κορυφή S

κινείται επί της ευθείας y=-4 . Η διάμεσος BM και το ύψος AD τέμνονται στο T .

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου του σημείου T . Διερεύνηση !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6844
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έλλειψη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 13, 2018 9:32 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 8:35 am
Έλλειψη.pngΟι κορυφές A και B του ορθογωνίου τριγώνου ABS είναι σταθερές , ενώ η κορυφή S

κινείται επί της ευθείας y=-4 . Η διάμεσος BM και το ύψος AD τέμνονται στο T .

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου του σημείου T . Διερεύνηση !
Έστω S(a,-4)
Έλλειψη..png
Έλλειψη..png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές
Πρώτα βρίσκω τις εξισώσεις των ευθειών AM, AD, \boxed{AM:y =  - \frac{{16}}{a}x + 4} και \boxed{AD:y = \frac{a}{8}x - 4}

και στη συνέχεια το σημείο \boxed{T\left( {\frac{{64a}}{{{a^2} + 128}},\frac{{4({a^2} - 128)}}{{{a^2} + 128}}} \right)} Τέλος με τη γνωστή διαδικασία προσδιορίζεται η

εξίσωση του γεωμετρικού τόπου \boxed{ \frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1} που είναι έλλειψη. Από την έλλειψη αυτή εξαιρούνται τα σημεία B,

όπου BS||x'x και A όπου δεν ορίζεται τρίγωνο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5832
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έλλειψη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 13, 2018 12:48 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 8:35 am
Έλλειψη.pngΟι κορυφές A και B του ορθογωνίου τριγώνου ABS είναι σταθερές , ενώ η κορυφή S

κινείται επί της ευθείας y=-4 . Η διάμεσος BM και το ύψος AD τέμνονται στο T .

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου του σημείου T . Διερεύνηση !
Παρόμοια λύση .
Ένας γεωμετρικός τόπος έλλειψη_KARKAR_13_7_18.png
Ένας γεωμετρικός τόπος έλλειψη_KARKAR_13_7_18.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Έστω S(2s, - 4)\,\,\,s \ne 0, άρα M(s,4) . επειδή \theta  = \omega , \boxed{\tan \theta  = \tan \omega  = \frac{s}{4}} και

άρα AD \to \boxed{y + 4 = \dfrac{{sx}}{4}\,\,(1)} . Επειδή \overrightarrow {BM}  = (s, - 8) με συντελεστή διεύθυνσης

\lambda  = \dfrac{{ - 8}}{x}, θα είναι BM \to y - 4 = \dfrac{{ - 8x}}{s} \Rightarrow \boxed{s = \dfrac{{ - 8x}}{{y - 4}}\,\,(2)} με y \ne 4 που ισχύει πάντα .

Κάθε σημείο T(x,y) του τόπου θα επαληθεύει τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) μεταξύ των οποίων

Με απαλοιφή της παραμέτρου s \ne 0 έχω :

y + 4 = \dfrac{1}{4}\left( { - \dfrac{{8x}}{{y - 4}}} \right)x \Leftrightarrow (y + 4)(y - 4) =  - 2{x^2} ή τελικά \boxed{\dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1}

Η διερεύνηση σαν του Γιώργου .


mixtzo
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τρί Μάιος 25, 2010 3:15 pm

Re: Έλλειψη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mixtzo » Κυρ Ιούλ 15, 2018 9:14 pm

Elleipsis_mtz.jpg
Elleipsis_mtz.jpg (17.2 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Το ότι ο εν λόγω τόπος είναι η έλλειψη που αναφέρθηκε παραπάνω ισχύει γενικότερα. Για την ακρίβεια είναι η έλλειψη που έχει κύριο άξονα την σταθερή κάθετη AC και εκκεντρότητα \epsilon=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Πράγματι, από την ομοιότητα των τριγώνων \triangleleft ACM και  \triangleleft ECM προκύπτει \frac{EF}{CE}=\frac{AM}{AC}, ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων \triangleleft ACB και  \triangleleft EFA προκύπτει \frac{EF}{AE}=\frac{AC}{AB}. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει ότι \frac{EF^2}{CE\cdot AE}=\frac{1}{2}=1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2.

Το τελευταίο αποδείχνει τον παραπάνω ισχυρισμό (σελίδα 94, https://archive.org/stream/geometricalconic00smitrich).


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Έλλειψη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιούλ 15, 2018 10:08 pm

mixtzo έγραψε:
Κυρ Ιούλ 15, 2018 9:14 pm
Elleipsis_mtz.jpgΤο ότι ο εν λόγω τόπος είναι η έλλειψη που αναφέρθηκε παραπάνω ισχύει γενικότερα. Για την ακρίβεια είναι η έλλειψη που έχει κύριο άξονα την σταθερή κάθετη AC και εκκεντρότητα \epsilon=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Πράγματι, από την ομοιότητα των τριγώνων \triangleleft ACM και  \triangleleft ECM προκύπτει \frac{EF}{CE}=\frac{AM}{AC}, ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων \triangleleft ACB και  \triangleleft EFA προκύπτει \frac{EF}{AE}=\frac{AC}{AB}. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει ότι \frac{EF^2}{CE\cdot AE}=\frac{1}{2}=1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2.

Το τελευταίο αποδείχνει τον παραπάνω ισχυρισμό (σελίδα 94, https://archive.org/stream/geometricalconic00smitrich).

Εξαιρετική η παρατήρηση, ομοίως και η παραπομπή. Υπάρχει και το αντίστροφο κάπου;;


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης