Ίσες γωνίες 1

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9583
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσες γωνίες 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 23, 2018 10:31 am

Ίσες γωνίες.1.png
Ίσες γωνίες.1.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές
Ο έγκυκλος τριγώνου ABC εφάπτεται στις πλευρές BC, AB, AC στα σημεία D, E, Z αντίστοιχα.

Έστω S σημείο του τμήματος EZ ώστε \displaystyle DS \bot EZ. Να δείξετε ότι A\widehat BS=A\widehat CS.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ίσες γωνίες 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Ιούλ 23, 2018 12:21 pm

Λόγω του ότι \widehat{SEB}=\widehat{SZC} ως παραπληρώματα ίσων γωνιών, αρκεί \widehat{ESB}=\widehat{ZSC}\Leftrightarrow 90^o-\widehat{ESB}=90^o-\widehat{ZSC}\Leftrightarrow \widehat{BSD}=\widehat{CSD} (1).

Έστω πως η EZ τέμνει την BC στο K. Ξέρουμε πως οι AD, BZ και CE συντρέχουν στο σημείο Gergonne, έστω G, άρα το τετράπλευρο AEGZ.BC είναι πλήρες τετράπλευρο, δηλαδή οι διαγώνιες του τέμνονται αρμονικά. Με άλλα λόγια η τετράδα (K, D, B, C) είναι αρμονική, άρα αφού \widehat{KSD}=90^o, από γνωστό λήμμα έχουμε πως η SD διχοτομεί την \widehat{BSC} και άρα προκύπτει η (1).


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ίσες γωνίες 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Ιούλ 23, 2018 12:48 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιούλ 23, 2018 10:31 am
Ίσες γωνίες.1.png
Ο έγκυκλος τριγώνου ABC εφάπτεται στις πλευρές BC, AB, AC στα σημεία D, E, Z αντίστοιχα.

Έστω S σημείο του τμήματος EZ ώστε \displaystyle DS \bot EZ. Να δείξετε ότι A\widehat BS=A\widehat CS.
ises_gwnies_1.png
ises_gwnies_1.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Έστω B{'} , C{'} τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία B, C προς στις DE , DZ αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα SZD, B{'}EB είναι όμοια μεταξύ τους. Επίσης όμοια μεταξύ τους είναι και τα SED , C{'}ZC. Απο τις παραπάνω ομοιότητες έχουμε

\dfrac{ES}{DE} = \dfrac{DZ/2}{CZ}

\dfrac{ED/2}{BE} =\dfrac{SZ}{DZ}

πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε

\dfrac{SE}{BE} = \dfrac{SZ}{CZ}

και εφόσον \angle BES = \angle CZS τα τρίγωνα BES , CZS είναι όμοια, δίνοντας την ζητούμνη ισότητα γωνιών.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9583
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες γωνίες 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 24, 2018 8:15 am

Ένα επιπλέον ερώτημα...
Ίσες γωνίες.1β.png
Ίσες γωνίες.1β.png (17.04 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές
Αν η κάθετη από το A στην DS την τέμνει στο K να δείξετε ότι το K και τα μέσα L, M των EZ, BC είναι συνευθειακά.

Μπορείτε να γενικεύσετε;


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ίσες γωνίες 1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιούλ 24, 2018 3:07 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιούλ 24, 2018 8:15 am
Ένα επιπλέον ερώτημα... Ίσες γωνίες.1β.png
Αν η κάθετη από το A στην DS την τέμνει στο K να δείξετε ότι το K και τα μέσα L, M των EZ, BC είναι συνευθειακά.
Ίσες γωνίες 1.png
Ίσες γωνίες 1.png (40.25 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές
Μια λύση "λίγο" εκτός φακέλου :roll: :

Δεν θα χρησιμοποιήσω το πρώτο ερώτημα... Θα αποδείξουμε πως τα σημεία K, L, M είναι συνευθειακά.

Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο KSLA είναι ορθογώνιο. Άρα η SA διχοτομείται από την KL. Με άλλα λόγια αν R το μέσο του SA, τότε τα K, R, L είναι συνευθειακά.

Αρκεί να αποδειχθεί λοιπόν ότι τα R, L, M είναι συνευθειακά.

Ξέρουμε πως οι AD, BZ, CE τέμνονται στο G, το σημείο Gergonne του τριγώνου ABC. Επομένως έχουμε το πλήρες τετράπλευρο AEGZ.BC.

Συνεπώς η ευθεία LM είναι η ευθεία Newton-Gauss αυτού του πλήρους τετραπλεύρου. Επομένως αυτή η ευθεία διέρχεται από από το μέσο P του AG

Αρκεί δηλαδή να αποδειχτεί πως τα σημεία R, P, L είναι συνευθειακά.

Στο τρίγωνο GSA τα R και P είναι μέσα, άρα έχουμε πως RP//SG.

Επομένως αρκεί να αποδειχθεί πως PL//SG.

Έστω ακόμα Q το μέσο του DS και J το συμμετρικό του D ως προς το G.

Ξέρουμε πως το G είναι το σημείο Lemmoine του DEZ, άρα προκύπτει από το θεώρημα Sclomich :P (θα πω μετά κάποια πράγματα), πως τα σημεία Q, G, L είναι συνευθειακά.

Ακόμη αφού Q και G μέσα στο DSJ, έχουμε πως QG//SJ, άρα GL//SJ.

Αφού DS//AL, έχουμε πως τα τρίγωνα JSD και GLA είναι όμοια. Άρα και τα τρίγωνα που προκύπτουν από τις διαμέσους τους είναι όμοια, δηλαδή τα τρίγωνα GLP και JSG είναι όμοια, άρα \widehat{JGS}=\widehat{GPL}, άρα προκύπτει η παραλληλία PL//SG και τέλος.

----------------------

Θεώρημα Schlomich (έτσι το έχω ακούσει, αν και στο διαδίκτυο δεν υπάρχουν πολλά για αυτό):

Έστω τρίγωνο ABC και AD το ύψος, το οποίο έχει μέσο M. Έστω L το σημείο Lemmoine και K το μέσο του BC. Τότε τα σημεία M, L, K είναι συνευθειακά!! Επιτέλους το χρησιμοποίησα αυτό το θεώρημα σε μία άσκηση :D :D :D :D !

Υ.Γ Θα έχει ενδιαφέρον να δούμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος. Έχω δει απόδειξη με μιγαδικούς, αλλά δεν έχω δει μια συνθετική λύση (χωρίς "αιρετικά" εργαλεία :) )

Edit: Προστέθηκε το σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τρί Ιούλ 24, 2018 6:10 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5492
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ίσες γωνίες 1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιούλ 24, 2018 4:04 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιούλ 23, 2018 10:31 am
Ίσες γωνίες.1.png Ο έγκυκλος τριγώνου ABC εφάπτεται στις πλευρές BC, AB, AC στα σημεία D, E, Z αντίστοιχα.
Έστω S σημείο του τμήματος EZ ώστε \displaystyle DS \bot EZ. Να δείξετε ότι A\widehat BS=A\widehat CS.
'Εχουμε και λέμε:
\displaystyle{\vartriangle CNZ \sim \vartriangle BEH \Rightarrow \frac{{NC}}{{BH}} = \frac{r}{R} = \frac{{NS}}{{SH}} \Rightarrow \vartriangle HSB \sim \vartriangle NSC \Rightarrow \angle HSB = \angle NSC,} οπότε αυτόματα παίρνουμε το ζητούμενο.
;αζ.png
;αζ.png (25.33 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9583
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες γωνίες 1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 25, 2018 9:20 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Ιούλ 24, 2018 3:07 pm
----------------------

Θεώρημα Schlomich (έτσι το έχω ακούσει, αν και στο διαδίκτυο δεν υπάρχουν πολλά για αυτό):

Έστω τρίγωνο ABC και AD το ύψος, το οποίο έχει μέσο M. Έστω L το σημείο Lemmoine και K το μέσο του BC. Τότε τα σημεία M, L, K είναι συνευθειακά!! Επιτέλους το χρησιμοποίησα αυτό το θεώρημα σε μία άσκηση :D :D :D :D !

Υ.Γ Θα έχει ενδιαφέρον να δούμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος. Έχω δει απόδειξη με μιγαδικούς, αλλά δεν έχω δει μια συνθετική λύση (χωρίς "αιρετικά" εργαλεία :) )
Έστω b<c. Αν η MK τέμνει τη συμμετροδιάμεσο AE στο L, θα δείξω ότι L είναι το σημείο

Lemoine
του τριγώνου, δηλαδή ότι: \displaystyle \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^{^2}} + {c^2}}}{{{a^2}}}
Schlomich.png
Schlomich.png (9.08 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές
Θεώρημα Μενελάου στο ADE με διατέμνουσα \displaystyle \overline {MLK} : \displaystyle \frac{{MA}}{{MD}} \cdot \frac{{DK}}{{EK}} \cdot \frac{{LE}}{{LA}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{DK}}{{EK}}} (1)

\displaystyle EK = BK - BE,BE = \frac{{a{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow \boxed{EK = \frac{{a({b^2} - {c^2})}}{{2({b^2} + {c^2})}}} (2)

2ο Θεώρημα διαμέσων στο ABC: \displaystyle {b^2} - {c^2} = 2a(DK) \Leftrightarrow \boxed{DK = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{2a}}} (3)

Αντικαθιστώντας τις (2), (3) στην (1) προκύπτει το ζητούμενο \boxed{\frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^{^2}} + {c^2}}}{{{a^2}}}}

Ανάλογα εργαζόμαστε αν b>c (Η περίπτωση b=c είναι προφανής).


ΥΓ. Το θεώρημα το γνώριζα, την ονομασία όμως (θεώρημα Schlomich) πρώτη φορά την ακούω.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ίσες γωνίες 1

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιούλ 25, 2018 11:49 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιούλ 25, 2018 9:20 am

ΥΓ. Το θεώρημα το γνώριζα, την ονομασία όμως (θεώρημα Schlomich) πρώτη φορά την ακούω.
Το είδα πρόσφατα εδώ, αλλά δεν ξέρω κατά πόσο έγκυρο είναι...


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες