Γνωστή καθετότητα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8795
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γνωστή καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 01, 2018 8:03 pm

Η άσκηση είναι γνωστή (θα μπορούσε να είναι και θεώρημα) και επιδέχεται πολλές λύσεις. Έχει τεθεί σε διαγωνισμούς ξένων χωρών και νομίζω ότι είχε μπει σε εισαγωγικές εξετάσεις της Σχολής Ικάρων, αλλά δεν μπορώ να τη βρω. Προφανώς έχει συζητηθεί ξανά. Το ενδιαφέρον έγκειται αποκλειστικά στο πόσες διαφορετικές λύσεις μπορούν να συγκεντρωθούν εδώ. Τη βάζω ενδεικτικά σε αυτό το φάκελο, χωρίς να αποτελεί δέσμευση.
Γνωστή καθετότητα.png
Γνωστή καθετότητα.png (16.35 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές
Οι διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου ABC τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα D, E, Z,

όπως φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι AD\bot EZ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5359
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Αύγ 01, 2018 9:59 pm

Πάντως αν I είναι το έκκεντρο οι κύκλοι (Z, ZA=ZB), (E,ED=EC) έχουν ως κοινή χορδή την AI.
Επομένως έχουμε ZE \bot AI ή ZE \bot AD.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Altrian
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Γνωστή καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Αύγ 02, 2018 10:46 am

Καλημέρα.

Ενδεχομένως η πιο απλή?

\frac{A}{2} + \frac{B}{2}+ \frac{C}{2} = 90
gnosti_kathetotita.png
gnosti_kathetotita.png (34.2 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γνωστή καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 02, 2018 11:00 am

Γμωστή καθετότητa.png
Γμωστή καθετότητa.png (37.06 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

\boxed{\widehat \theta  = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1735
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γνωστή καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Αύγ 02, 2018 4:27 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 8:03 pm
Η άσκηση είναι γνωστή (θα μπορούσε να είναι και θεώρημα) και επιδέχεται πολλές λύσεις. Έχει τεθεί σε διαγωνισμούς ξένων χωρών και νομίζω ότι είχε μπει σε εισαγωγικές εξετάσεις της Σχολής Ικάρων, αλλά δεν μπορώ να τη βρω. Προφανώς έχει συζητηθεί ξανά. Το ενδιαφέρον έγκειται αποκλειστικά στο πόσες διαφορετικές λύσεις μπορούν να συγκεντρωθούν εδώ. Τη βάζω ενδεικτικά σε αυτό το φάκελο, χωρίς να αποτελεί δέσμευση.

Γνωστή καθετότητα.png
Οι διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου ABC τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα D, E, Z,

όπως φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι AD\bot EZ.

\displaystyle L,M,K είναι τα κέντρα των παρεγγεγραμμένων κύκλων του \displaystyle \vartriangle ABC

που είναι γνωστό ότι είναι ορθικό του \displaystyle KLM

ο κύκλος \displaystyle \left( {A,B,C} \right) είναι ο κύκλος Euler του \displaystyle KLM

Έτσι, \displaystyle Z,E μέσα των \displaystyle KH,HL οπότε \displaystyle ZE//KL \Rightarrow ZE \bot AD
G.K.png
G.K.png (38.38 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8795
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γνωστή καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 05, 2018 3:55 pm

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Δίνω άλλη μία.
Γνωστή καθετότητα.β.png
Γνωστή καθετότητα.β.png (20.35 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές
Αν F το αντιδιαμετρικό του E, τότε: \displaystyle D\widehat FE = \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2} = {90^0} - \frac{{\widehat C}}{2} \Leftrightarrow F\widehat ED = \frac{{\widehat C}}{2} = A\widehat CZ \Leftrightarrow FD = AZ

\displaystyle A{Z^2} + D{E^2} = F{D^2} + D{E^2} = 4{R^2}. Ομοίως, \displaystyle A{E^2} + D{Z^2} = 4{R^2}, άρα \boxed{AD\bot EZ}


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5359
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή καθετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Αύγ 05, 2018 6:12 pm

Έχουμε \displaystyle{\angle \left( {BA,EZ} \right) = \angle \left( {ZE,CA} \right) = \frac{\pi }{2} + \angle \frac{A}{2}\;\; > \frac{\pi }{2}).
Έστω D^’ σημείο του τόξου BC που δεν ανήκει η κορυφή A τέτοιο ώστε A{D{'}} \bot ZE.
Τότε \displaystyle{\angle ZA{D{'}} = \frac{\pi }{2} - \angle \frac{C}{2} - \angle \frac{B}{2} = \angle \frac{A}{2}.}
Άρα η AD^’ είναι διχοτόμος της \angle A και λόγω του μονοσήμαντου, έχουμε {D{'}} \equiv D.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Γνωστή καθετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Αύγ 05, 2018 9:52 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 8:03 pm
Η άσκηση είναι γνωστή (θα μπορούσε να είναι και θεώρημα) και επιδέχεται πολλές λύσεις. Έχει τεθεί σε διαγωνισμούς ξένων χωρών και νομίζω ότι είχε μπει σε εισαγωγικές εξετάσεις της Σχολής Ικάρων, αλλά δεν μπορώ να τη βρω. Προφανώς έχει συζητηθεί ξανά. Το ενδιαφέρον έγκειται αποκλειστικά στο πόσες διαφορετικές λύσεις μπορούν να συγκεντρωθούν εδώ. Τη βάζω ενδεικτικά σε αυτό το φάκελο, χωρίς να αποτελεί δέσμευση.

Γνωστή καθετότητα.png
Οι διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου ABC τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα D, E, Z,

όπως φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι AD\bot EZ.

Η  ZE ειναι διχοτόμος των γωνιών  AZI, AEI .

Η ισότητα, τώρα, των τριγώνων  AZE, AIE δίνει, μεταξύ άλλων, την  ZE  μεσοκάθετο της  AI.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8795
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γνωστή καθετότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 07, 2018 4:12 pm

Άλλη μία (αν και όχι εντελώς διαφορετική).
Γνωστή καθετότητα.γ.png
Γνωστή καθετότητα.γ.png (16.96 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές
\displaystyle A\widehat IB = I\widehat KE + K\widehat EI \Leftrightarrow {90^0} + \frac{{\widehat C}}{2} = I\widehat KE + \frac{{\widehat C}}{2} \Leftrightarrow \boxed{I\widehat KE=90^0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης