Κυκλική παραλλαγή

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7702
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κυκλική παραλλαγή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 14, 2018 10:24 am

Σχολική παραλλαγή.png
Σχολική παραλλαγή.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Γράφω τον κύκλο που διέρχεται από το περίκεντρο O τριγώνου ABC και εφάπτεται στην BC.

Αν AT είναι ένα εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου, να δείξετε ότι AB^2+AC^2=4AT^2.


Αφήνεται ένα 24ωρο στους μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 768
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κυκλική παραλλαγή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Οκτ 14, 2018 12:06 pm

Έστω K το κέντρο του μικρού κύκλου και M το μέσο της BC στο οποίο εφάπτεται ο μικρός κύκλος.

Αρκεί να αποδείξουμε πως AK^2=KT^2+AT^2.

Έχουμε από θεώρημα διαμεσών στο τρίγωνο AMO ότι AK^2=\dfrac{2AO^2+2AM^2-OM^2}{4}

Οπότε έχουμε πως:

\dfrac{2AO^2+2AM^2-OM^2}{4}=KT^2+AT^2\Leftrightarrow 2AO^2+2AM^2-OM^2-4KT^2=4AT^2\Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2AO^2+2AM^2-2OM^2=4AT^2

Από θεώρημα διαμεσών στο τρίγωνο ABC έχουμε ότι 2AM^2=AB^2+AC^2-\dfrac{BC^2}{2}

Οπότε 4AT^2=AB^2+AC^2+2AO^2-2OM^2-\dfrac{BC^2}{2}=AB^2+AC^2+2(AO^2-OM^2-\dfrac{BC^2}{4})=

=AB^2+AC^2+2(BO^2-OM^2-BM^2)=AB^2+AC^2


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης