Μισή ορθή από μέσα

[sakis1963]

GEOMETRIA210-FB2220.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

Σε τετράγωνο γράφουμε το τεταρτοκύκλιο με κέντρο και ακτίνα .

Αν τυχαίο σημείο του τεταρτοκυκλίου και τα μέσα των αντίστοιχα,

δείξτε οτι

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω πως η τέμνει την στο .

Από τα ίσα τρίγωνα και συμπεραίνουμε πως και .

Άρα το είναι το αντιδιαμετρικό του στον κόκκινο κύκλο και οπότε .

Στο τρίγωνο τα είναι μέσα των και αντίστοιχα, οπότε .

Άρα .

Έστω το μέσο του . Είναι , οπότε .

Εύκολα μπορεί κανείς να συμπεράνει πως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Έχουμε λοιπόν πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, αφού δύο απέναντι γωνίες του είναι . Όμως αφού , έχουμε πως η διχοτομεί την , δηλαδή είναι .

[sakis1963]

GEOMETRIA210-FB2220 sol.png (23.38 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Φίλε Διονύση, ευχαριστώ για τη λύση σου.

Θα πω δυο λόγια για την ιδέα κατασκευής του προβλήματος, που είναι ταυτόχρονα και λύση.

Προφανώς και συνεπώς τα που ενώνουν τα μέσα των άνισων πλευρών των αντίστοιχα,

είναι // με τις διχοτόμους των γωνιών .

Αλλά και το ζητούμενο έπεται.

Η πιο σύντομη λύση βέβαια προκύπτει από την παρατήρηση ότι τα ανήκουν στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου (ομοιοθεσία),

οπότε το ζητούμενο έπεται άμεσα