Κριτήριο ισοσκελούς 4

#1

Έστω

το βαρύκεντρο τριγώνου ABC.

Αν

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλή εβδομάδα σε όλους ! Γιώργο μια προσπάθεια :

Από το α' θεώρημα διαμέσων παίρνουμε $4\mu _{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}$ και $4\mu _{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}$ .

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει $4\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=3\left ( b-c \right )\left ( b+c \right ) ...(1)$ .

Ακόμη $AB+GC=AC+GB \Leftrightarrow GC-GB=AC-AB\Leftrightarrow 2\left ( \mu _{c}-\mu _{b} \right )=3\left ( b-c \right ) ...(2)$ .

Με αντικατάσταση του $3\left ( b-c \right )$ η (1)

γίνεται $2\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( b+c \right )..(3)$

Έστω $b \neq c$ τότε $\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right ) \neq 0$ . Με διαγραφή η (3)

γίνεται $2\left ( \mu _{b}+\mu _{c})=b+c$ .. (4)

Όμως όπως μπορούμε να δούμε και στο σχήμα

: Κριτήριο ισοσκελούς.PNG (4.32 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Στο τρίγωνο ZAC

είναι $b < \mu _{c}+c/2$ και στο ABE

: $c< \mu _{b}+b/2$ . Με πρόσθεση έχουμε τελικά $b+c< 2\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )$

άρα η (4)

δεν ισχύει , το ίδιο και η παραδοχή $b \neq c$ . Συνεπώς b=c

δηλ το $\vartriangle ABC$ είναι ισοσκελές. Φιλικά Γιώργος.

Κριτήριο ισοσκελούς 4

Κριτήριο ισοσκελούς 4

Re: Κριτήριο ισοσκελούς 4

Μέλη σε σύνδεση