Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 12, 2018 7:06 pm

Ένα (ορθογώνιο) τρίγωνο με πλευρές 3,\,4,\,5 είναι εγγεγραμμένο σε τετράγωνο, όπως στο σχήμα. Πόση είναι η πλευρά του τετραγώνου;

Γενικεύσατε με ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι κάθετες πλευρές είναι p,\,q.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές.
.
Συνημμένα
orth se tetr.png
orth se tetr.png (4.95 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 13, 2018 7:15 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Νοέμ 12, 2018 7:06 pm
Ένα (ορθογώνιο) τρίγωνο με πλευρές 3,\,4,\,5 είναι εγγεγραμμένο σε τετράγωνο, όπως στο σχήμα. Πόση είναι η πλευρά του τετραγώνου;

Γενικεύσατε με ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι κάθετες πλευρές είναι p,\,q.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές.
.
Για τη γενική περίπτωση. Έστω p>q.
Τρίγωνο σε τετράγωνο.png
Τρίγωνο σε τετράγωνο.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές
Τα τρίγωνα ABM, CMN είναι όμοια: \displaystyle \frac{a}{{a - x}} = \frac{p}{q} \Leftrightarrow a(p - q) = px = p\sqrt {{p^2} - {a^2}}  \Leftrightarrow

\displaystyle {a^2}{(p - q)^2} = {p^4} - {p^2}{a^2} \Leftrightarrow \boxed{a = \frac{{{p^2}}}{{\sqrt {2{p^2} - 2pq + {q^2}} }}} Στο παράδειγμά μας, a=\dfrac{16\sqrt{17}}{17}


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1097
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Σάβ Δεκ 21, 2019 12:21 am

Ενδιαφέρον πρόβλημα, τόσο από κατασκευαστική, όσο και από υπολογιστική άποψη.
Θα περιγράψω την κατασκευή για τυχαίο τρίγωνο AMN το οποίο επιθυμούμε να εγγράψουμε σε κατάλληλο τετράγωνο ABCD του οποίου ζητάμε την πλευρά.
Έστω ότι έχουμε εγγράψει το τρίγωνο AMN σε τετράγωνο ABCD.
Στρέφουμε το τρίγωνο ADN μαζί με το ημικύκλιο στο οποίο εγγράφεται περί το σημείο A κατά ορθή γωνία στη θέση AD'B. Η τομή των ημικυκλίων AD'B, ABM μας δίνει τη θέση της κορυφής B.
Έτσι το πρόβλημα ανάγεται στον υπολογισμό του ύψους AB του τριγώνου AD'M, του οποίου γνωρίζουμε τις πλευρές AM=n και AD'=AN=m καθώς και την περιεχόμενη μεταξύ αυτών γωνία η οποία είναι συμπληρωματική της γωνίας \angle MAN=\phi του αρχικού τριγώνου AMN.
Το ζητούμενο μήκος της πλευράς του τετραγώνου, δίδεται από τον τύπο AB=\dfrac{2(AMD')}{MD'}, όπου (AMD')=\frac{1}{2}mn sin(\frac{\pi}{2}-\phi)=\frac{1}{2}mn cos\phi
και
MD'=\sqrt{m^2+n^2-2mn cos(\frac{\pi}{2}-\phi)}=\sqrt{m^2+n^2-2mn sin\phi}
Επομένως,
AB=\dfrac{mn cos\phi}{\sqrt{m^2+n^2-2mn sin\phi}}
Εκκρεμεί η διερεύνηση.
Συνημμένα
εγγραφη σε τετράγωνο.png
εγγραφη σε τετράγωνο.png (434.79 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες