Ισόπλευρο και γωνία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ισόπλευρο και γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Νοέμ 12, 2018 11:22 pm

shape.png
shape.png (10.26 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές
Προεκτείνουμε την πλευρά AB, ισοπλεύρου τριγώνου ABC, κατά BD

Φέρνουμε την τέμνουσα DEZ, έτσι ώστε BD = CE και DE = AZ

Να βρείτε τη γωνία \omega  = \angle ADZ


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6602
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 13, 2018 9:07 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Νοέμ 12, 2018 11:22 pm
shape.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά AB, ισοπλεύρου τριγώνου ABC, κατά BD

Φέρνουμε την τέμνουσα DEZ, έτσι ώστε BD = CE και DE = AZ

Να βρείτε τη γωνία \omega  = \angle ADZ
Ισόπλευρο και γωνία.png
Ισόπλευρο και γωνία.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές
Η κατασκευή του σκιασμένου τριγώνου λύνει το πρόβλημα.

Αν φέρω μετά από το E παράλληλη στην AB και κόψει την AC στο T θα είναι :

\vartriangle AET = \vartriangle DEB .
Ισόπλευρο και γωνία_ απόδειξη.png
Ισόπλευρο και γωνία_ απόδειξη.png (22.53 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο και γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 13, 2018 7:32 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Νοέμ 12, 2018 11:22 pm
shape.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά AB, ισοπλεύρου τριγώνου ABC, κατά BD

Φέρνουμε την τέμνουσα DEZ, έτσι ώστε BD = CE και DE = AZ

Να βρείτε τη γωνία \omega  = \angle ADZ
Καλησπέρα!
Ισόπλευρο και γωνία..png
Ισόπλευρο και γωνία..png (10.94 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα AEC, BDE βρίσκω \displaystyle A{E^2} = {a^2} - ay + {y^2} = {x^2} και από τα

ισοσκελή τρίγωνα που προκύπτουν εύκολα είναι \displaystyle 3\omega  = 120^\circ  \Leftrightarrow \boxed{\omega=40^\circ}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Νοέμ 14, 2018 12:52 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Νοέμ 12, 2018 11:22 pm
shape.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά AB, ισοπλεύρου τριγώνου ABC, κατά BD

Φέρνουμε την τέμνουσα DEZ, έτσι ώστε BD = CE και DE = AZ

Να βρείτε τη γωνία \omega  = \angle ADZ

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle AEH άρα \displaystyle x = y οπότε \displaystyle \vartriangle AHC = \vartriangle ABE(\Pi  - \Gamma  - \Pi ) άρα \displaystyle HC = BE

Επιπλέον, \displaystyle AECH εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow \angle HCE = \angle DBE = {120^0}.Έτσι, \displaystyle \vartriangle DBE = \vartriangle ECH \Rightarrow DE = EH = AE = AZ

Επομένως \displaystyle \angle D = x \Rightarrow \angle AEZ = \angle AZE = 2x και \displaystyle 3x = {120^0} \Rightarrow \boxed{x = {{40}^0}}
ισόπλευρο και γωνία.png
ισόπλευρο και γωνία.png (16.89 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρο και γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Νοέμ 14, 2018 2:31 am

Καλημέρα! Ελαφρά παραλλαγή ( ... αντιγράφοντας και συνδυάζοντας στοιχεία προηγούμενων λύσεων )
Ισόπλευρο και γωνία.PNG
Ισόπλευρο και γωνία.PNG (8.48 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Το τρίγωνο BEP είναι ισόπλευρο , τα BED,APE είναι ίσα
και για τις γωνίες του ισοσκελούς ZAE έχουμε 3\theta +60^{0}=180^{0}\Leftrightarrow \theta =40^{0}...Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισόπλευρο και γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Νοέμ 14, 2018 7:42 am

Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις όμορφες λύσεις σας. Μία σε gif animator μορφή...
mike.gif
mike.gif (119.74 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot], Majestic-12 [Bot] και 3 επισκέπτες