Ισεμβαδικά ζεύγη

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA212-FB2522.png (64.29 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Ο κύκλος με διάμετρο τη βάση

ισοσκελούς τριγώνου ABC

, τέμνει το ύψος

στο

.

H

τέμνει την

στο

και τον κύκλο (A, AQ)

στο

.

α. δείξτε ότι (ABQ)=(DPC)

β. βρείτε τον λόγο $\dfrac{AM}{BC}$ ώστε (BPC)=(AQD)

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 24, 2018 11:21 pm
GEOMETRIA212-FB2522.png
Ο κύκλος με διάμετρο τη βάση ισοσκελούς τριγώνου , τέμνει το ύψος στο .

H τέμνει την στο και τον κύκλο στο .

α. δείξτε ότι

β. βρείτε τον λόγο $\dfrac{AM}{BC}$ ώστε

α) $(ABQ)=\dfrac{1}{2}.BQ.\upsilon ,(DPC)=\dfrac{1}{2}.PD.\upsilon$

Συνεπώς αρκεί να αποδειχθεί ότι

$BQ.\upsilon =PD.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{BQ}{PD}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2\upsilon },(1)$

όπου $AJ\perp BD,AJ=\upsilon ,\hat{ABC}=\hat{ACB}=\omega ,AD=AQ=r,$

$\hat{BPM}=45^{0}=\hat{APJ}=\hat{PAJ},AP=\upsilon \sqrt{2},(2)$ ,

$\hat{BAD}=180^{0}-2\omega +2\omega -90^{0}=90^{0},BD^{2}=r^{2}+b^{2}=(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+PD)^{2},$

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$AJQ,PQC,\dfrac{2\upsilon }{a\sqrt{2}}=\dfrac{r}{QC}=\dfrac{QJ} {PQ}\Rightarrow \dfrac{\upsilon \sqrt{2}}{a}=\dfrac{r}{b-r},(3), (1),(3)\Rightarrow \dfrac{BQ^{2}}{PD^{2}}= (\dfrac{b-r}{r})^{2},(*)$

αποδεικτέα σχέση .

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς το κύκλο (A,AQ)

$BQ.BD=BA^{2}-r^{2}=b^{2}-r^{2}\Rightarrow BQ^{2}(b^{2}+r^{2})=(b^{2}-r^{2})^{2}\Leftrightarrow BQ^{2}=\dfrac{(b^{2}-r^{2})^{2}}{b^{2}+r^{2}},(4), PD^{2}=(\sqrt{b^{2}+r^{2}} -\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^{2},(5)$

Συνεπώς θα αποδειχθεί ότι

$\dfrac{(b+r)^{2}}{(b^{2}+r^{2}).(\sqrt{r^{2}+b^{2}}-\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^{2}}=\dfrac{1}{r^{2}},(*)$

Θα εκφράσω την ακτίνα

και το ύψος $\upsilon$ συναρτήσει των πλευρών του

ισοσκελούς τριγώνου

$AP=AM-\dfrac{a}{2},AP=\upsilon \sqrt{2}$

Οπότε

$AM^{2}=(\dfrac{a}{2}+\upsilon \sqrt{2})^{2}\Leftrightarrow 4\upsilon^{2}+2\sqrt{2}a.\upsilon +(a^{2}-2b^{2})=0\Leftrightarrow \upsilon =\dfrac{\sqrt{2}(-a+\sqrt{4b^{2}-a^{2}})}{4},(6), r=b\dfrac{b(-a+\sqrt{4b^{2}-a^{2}})}{a+\sqrt{4b^{2}-a^{2}}},(7)$

Αρα η (*)

διαμορφώνεται

$\dfrac{2a^{2}}{2b^{2}+a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}= [1-\dfrac{-a+\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{a+\sqrt{4b.b-a^{2}}}]^{2}$

η οποία είναι προφανής

Γιάννης

Θα συνεχίσω με το δευτερο ερώτημα αργότερα

β)
Για το δευτερο ερώτημα

Ισχύει

$(BPC)=(AQD)\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{1}{2}QD.\upsilon =\upsilon \sqrt{r^{2}-\upsilon ^{2}}\Leftrightarrow a^{2}=16\upsilon ^{2}(r^{2}-\upsilon ^{2}),(8),$

Θα υπολογισθεί $\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2a}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-1}$

Απο το πρώτο ερώτημα υπολογίζω

$r^{2}-\upsilon ^{2}=\dfrac{(2b^{2}-a\sqrt{4b^{2}-a^{2}})^{2}}{4(2b^{2}+a\sqrt{4b^{2}-a^{2}})}, 16\upsilon ^{2}=4(2b^{2}-a\sqrt{4b^{2}-a^{2}})$

Αρα η σχέση (8)

γράφεται

$(\dfrac{2b^{2}-a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{a})^{2}=a^{2}.(\dfrac{2b^{2}+a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2b^{2}-a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}),$

Θέτω $x=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}$

και η προηγούμενη σχέση γράφεται

$(2x-\sqrt{4x-1})^{2}=\dfrac{2x+\sqrt{2x-1}}{2x-\sqrt{4x-1}},x\neq \dfrac{1}{2},x>\dfrac{1}{4}$

Θετω $t=\sqrt{4x-1},t>0,t\neq 1, \dfrac{(t-1)^{2}}{2}=\left | \dfrac{t+1}{t-1} \right |,$

Η τελευταία σχέση διασπάται :

$\dfrac{(t-1)^{2}}{2}=\dfrac{t+1}{t-1},t>1,(9), \dfrac{(t-1)^{2}}{2}=\dfrac{t+1}{1-t},0<t<1,(10),$

$(9)\Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}+t-3=0\Leftrightarrow t=3,x=\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}, \dfrac{AM}{BC}=\dfrac{3}{2},$

Η σχέση (10)

είναι αδυνατη ,λόγω των περιορισμών

Γιάννης

Ισεμβαδικά ζεύγη

Ισεμβαδικά ζεύγη

Re: Ισεμβαδικά ζεύγη

Μέλη σε σύνδεση