Τμήμα υποτείνουσας

KARKAR · #1

: Τμήμα υποτείνουσας.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : AS^2+AT^2=65

. Υπολογίστε το x(=ST)

.

nikkru · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 3:01 pm
Τμήμα υποτείνουσας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : . Υπολογίστε το .

Χωρίς χρήση Θ. διαμέσων ( αφού είναι εκτός ύλης ... ), με Γ.Π.Θ.
.

: Τμήμα υποτείνουσας.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

.
Από Γ.Π.Θ. στα τρίγωνα ABT,ASC

έχουμε: $AT^2=AB^2+BT^2-2BT\cdot BK$ , $AS^2=AC^2+CS^2-2CS \cdot CK$ .

Αντικαθιστώντας στην 65=AS^2+AT^2

παίρνουμε: $65=AB^2+BT^2-2BT\cdot BK+AC^2+CS^2-2CS \cdot CK \Leftrightarrow$

$65=AB^2+AC^2+32-8BC\Leftrightarrow BC^2-8BC-33=0$ με μοναδική δεκτή λύση την BC=11

, επομένως x=ST=3

.

Xriiiiistos · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 3:01 pm
Τμήμα υποτείνουσας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : . Υπολογίστε το .

Από νόμους συνημιτώνων στα τρίγωνα ATB,ACS

έχουμε

$AT^{2}=4^{2}+AB^{2}-8ABcosB=16+AB^{2}-\frac{AB^{2}}{CB},AS^{2}=4^{2}+AC^{2}-8ACcosC=16+AC^{2}-\frac{8AC^{2}}{BC}$

Προσθέτωντάς τα κατά μέλη παίρνουμε $65=32+CB^{2}-8CB\Leftrightarrow CB^{2}-8CB-33=0$ $\Rightarrow CB=11\Rightarrow x=3$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 3:01 pm
Τμήμα υποτείνουσας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : . Υπολογίστε το .

Θεώρημα Stewart στα ACT, ASB:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {b^2}x + 4A{T^2} = (x + 4)A{S^2} + 4x(x + 4)\\ \\ {c^2}x + 4A{S^2} = (x + 4)A{T^2} + 4x(x + 4) \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus {b^2} + {c^2} = 65 + 8(x + 4) \Leftrightarrow {(x + 8)^2} = 8x + 97 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 3:01 pm
Τμήμα υποτείνουσας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : . Υπολογίστε το .

Με $\displaystyle SD \bot AC,TE \bot AB \Rightarrow \vartriangle CDS = \vartriangle TEB \Rightarrow DS = //EB \Rightarrow DE = //CT = 4 + x$ και $\displaystyle CD = TE$

$\displaystyle A{S^2} = D{S^2} + {\omega ^2}$ και $\displaystyle A{T^2} = T{E^2} + {y^2}$ άρα

$\displaystyle A{S^2} + A{T^2} = \left( {D{S^2} + T{E^2}} \right) + {y^2} + {\omega ^2} = \left( {D{S^2} + D{C^2}} \right) + D{E^2}$

$\displaystyle 65 = 16 + {\left( {4 + x} \right)^2} \Rightarrow \boxed{x = 3}$

: τμήμα υποτείνουσας.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 3:01 pm
Τμήμα υποτείνουσας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : . Υπολογίστε το .

Εστω ότι

Τοτε από το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο $AST,a^{2}+x^{2}=130,(1)$

$TK//AC\Leftrightarrow \dfrac{y}{c}=\dfrac{4}{8+x}=\dfrac{\sqrt{16-y^{2}}}{b},(2), (2)\Rightarrow y=\dfrac{4c}{a},a=8+x,(1)\Rightarrow a=11,x=3$

Γιάννης

nickchalkida · #7

Παρόμοια με την προηγούμενη, θεώρημα διαμέσων στο AST

, λαμβάνουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} AS^2 + AT^2 &= 2AM^2 + {ST^2 \over 2} \rightarrow \cr 65 &= 2(4+{x \over 2})^2 + {x^2 \over 2} \rightarrow \cr & x^2 +8x-33=0 \rightarrow x=3 \cr \end{aligned} }$

Τμήμα υποτείνουσας

Τμήμα υποτείνουσας

Re: Τμήμα υποτείνουσας

Re: Τμήμα υποτείνουσας

Re: Τμήμα υποτείνουσας

Re: Τμήμα υποτείνουσας

Re: Τμήμα υποτείνουσας

Re: Τμήμα υποτείνουσας

Μέλη σε σύνδεση