γενίκευση με ορθόκεντρα

#1

Με αφορμή το θέμα του Γιώργου: viewtopic.php?f=20&t=63425

Κάθε διαγώνιος εγγεγραμμένου τετραπλεύρου το διαιρεί σε δύο τρίγωνα. Συνολικά έχουμε, λοιπόν, τέσσερα τρίγωνα.

Να αποδειχτεί ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων αυτών είναι κορυφές τετράπλευρου όμοιου με το αρχικό.

Stelios V8 · #2

Έστω

το κέντρο του εγγράψιμου τετραπλεύρου ABCD

και $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $D_{1}$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων BCD

,

αντίστοιχα .
Τότε $AD_{1}=//DA_{1}=2dist(O,BC)$ συνεπώς $AD_{1}A_{1}D$ # άρα $AD=A_{1}D_{1}$ και ομοίως οι άλλες ισότητες .
Έτσι το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ίσο και όχι απλά όμοιο με το αρχικό .

#3

Stelios V8 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 1:47 pm

Έστω το κέντρο του εγγράψιμου τετραπλεύρου και $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $D_{1}$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων , , , αντίστοιχα.

Τότε $AD_{1}=//DA_{1}=2dist(O,BC)$

συνεπώς $AD_{1}A_{1}D #$ άρα $AD=A_{1}D_{1}$ και ομοίως οι άλλες ισότητες.

Έτσι το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ίσο και όχι απλά όμοιο με το αρχικό .

Να πω, μόνο, ότι η ισότητα των πλευρών δεν είναι κριτήριο ισότητας τετραπλεύρων.

Stelios V8 · #4

Ναι πολύ σωστά, όμως εδώ είναι ίσα καθώς $\angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C_{1}$ και λοιπά . Επίσης αν $K\equiv AA_{1}\cap BB_{1}\cap CC_{1}\cap DD_{1}$ τότε τα $A_{1} , B_{1} , C_{1} , D_{1}$ είναι τα συμμετρικά των A, B, C, D

αντίστοιχα ως προς

.

#5

Stelios V8 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 9:34 pm
Ναι πολύ σωστά, όμως εδώ είναι ίσα καθώς $\angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C_{1}$ και λοιπά . Επίσης αν $K\equiv AA_{1}\cap BB_{1}\cap CC_{1}\cap DD_{1}$ τότε τα $A_{1} , B_{1} , C_{1} , D_{1}$ είναι τα συμμετρικά των αντίστοιχα ως προς .

Τι θα έλεγες για την εξής αιτιολογία:

Είναι ίσα γιατί είναι (ομοιοθετα) σε ομοιοθεσία λόγου 1.

;

Stelios V8 · #6

Ναι αυτό εννοώ . Βέβαια μπορεί να χάνω κάτι και να μην το έχω καταλάβει! Εξηγήστε μου σας παρακαλώ αν σας είναι εύκολο τι θα έπρεπε να πούμε .

#7

Stelios V8 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 11:02 pm
Ναι αυτό εννοώ . Βέβαια μπορεί να χάνω κάτι και να μην το έχω καταλάβει! Εξηγήστε μου σας παρακαλώ αν σας είναι εύκολο τι θα έπρεπε να πούμε .

Λοιπόν, ο τρόπος που σκέφτηκες είναι τρόπος Γεωμέτρη. Μου αρέσει. Και το σχήμα που έβαλες είναι εντυπωσιακό. Στο γράψιμο υστερείς, προς το παρόν, αλλά σίγουρα θα το βελτιώσεις.
(Αν είσαι μαθητής πιάσε χάρακα και διαβήτη. Οχι geogebra. Θα λύσεις λιγότερες ασκήσεις αλλά θα καταλάβεις καλύτερα την Γεωμετρία. Τότε η geogebra θα γίνει πολύτιμο εργαλείο στα χέρια σου)

Καλή χρονιά. Σου εύχομαι κάθε επιτυχία, πρόοδο και ευημερία!

Stelios V8 · #8

Λοιπόν, ο τρόπος που σκέφτηκες είναι τρόπος Γεωμέτρη. Μου αρέσει. Και το σχήμα που έβαλες είναι εντυπωσιακό. Στο γράψιμο υστερείς, προς το παρόν, αλλά σίγουρα θα το βελτιώσεις.
(Αν είσαι μαθητής πιάσε χάρακα και διαβήτη. Οχι geogebra. Θα λύσεις λιγότερες ασκήσεις αλλά θα καταλάβεις καλύτερα την Γεωμετρία. Τότε η geogebra θα γίνει πολύτιμο εργαλείο στα χέρια σου)

Καλή χρονιά. Σου εύχομαι κάθε επιτυχία, πρόοδο και ευημερία!

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα λόγια σας και τις συμβουλές που μου δώσατε . Θα κάνω προσπάθεια να πιάνω πιο πολύ χάρακα και διαβήτη και να δουλεύω με χαρτί και μολύβι και όχι με υπολογιστή και geogebra . Έχετε απόλυτο δίκιο σε αυτό . Εύχομαι και εγώ με τη σειρά μου να έχετε μια καλή και ευλογημένη χρονιά με υγεία !

γενίκευση με ορθόκεντρα

γενίκευση με ορθόκεντρα

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

Μέλη σε σύνδεση