Σταθερό σημείο σε εγγεγραμμένο

[spege]

Έστω ΑΒCD εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο (J,R).Αν Ε το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC, F του BCD, H του ADB και G του ADC τότε
ι) Τα τετράπλευρα ABFG,AEFD,BCGH,DCEH είναι παραλληλόγραμμα
ιι) Τα παραλληλόγραμμα αυτά έχουν κοινό κέντρο ,έστω Ι
ιιι) Το σημείο Ι είναι κοινό σημείο των τεσσάρων κύκλων Euler των τριγώνων ABC,BCD,ADB,ADC ,οι οποίοι είναι ίσοι
ιν) Το τετράπλευρο HEFG είναι ίσο με το ABCD με αντίστοιχα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων του τα A,B,C,D
ν) Η ευθεία Simson των τεσσάρων προηγουμένων τριγώνων με σημείο προβολών το τέταρτο σημείο του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου διέρχεται από το σημείο Ι
νι) Τα κέντρα των τεσσάρων κύκλων Euler ανήκουν στο κύκλο (Ι,R/2)

[R BORIS]

ΛΙΓΟ ΑΡΓΟΤΕΡΑ

[R BORIS]

ΛΙΓΟ ΑΡΓΟΤΕΡA
i)Εστω Τοτε

άρα ABFG # ομοίως τα άλλα 3

ii) ομοίως τα άλλα 3

iii)O κυκλος Euler ABC εχει κεντρο το και ακτινα έχει εξίσωση αρκεί που είναι προφανες μετα την αντικατάσταση του
( ακτινα του κύκλου )

iv)αρκεί ομοίως τα άλλα 2 που ισχύει

v)Αν ο κυκλος θεωρηθει μοναδιαίος και οι προβολες του αντιστοιχως σις τότε και ομοια τα που μετα τις αντικαταστάσεις και λίγες πράξεις καταλήγει στην που ισχυει διότι το είναι εγγράψιμο

vi))κεντρο κυκλoυ Euler τότε

Οι προτάσεις που χρησιμοποίησα βρίσκονται στο βιβλίο μου Μιγαδικοί αριθμοί και μετ/μοί Mobius σελιδες 96,98,106 και υπάρχουν στο MATHEMATICA.gr και στο lysari

[R BORIS]

oi προτάσεις που χρησιμοποίησα στο προηγούμενο post

a) αν ο κύκλος είναι ο μοναδιαίος τότε το ορθόκεντρο είναι το Σε τρίγωνο του μιγαδικού επιπέδου

β)Αν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο τότε

c) Το ίχνος της καθέτου προς την χορδή του μοναδιαίου κύκλου είναι

d)οι μιγαδικοί αντιστοιχούν σε διανύσματα ΘΕΣΗΣ

e)To κέντρο του κύκλου Euler βρίσκεται στο μέσον της όπου το ορθόκεντρο και το περίκεντρο τριγώνου και έχει ακτίνα με την ακτίνα του κύκλου

f) Συνευθειακά σημεία

[spege]

Ωραία λύση Ροδόλφε ...μη Ευκλείδεια