Καθετότητα λόγω προόδου

KARKAR · #1

: Καθετότητα λόγω προόδου.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Οι πλευρές : c<b<a

, του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Επί των πλευρών BC , AC

, θεωρούμε σημεία S,T

αντίστοιχα , ώστε : BS=AT=c

.

Δείξτε ότι : $\widehat{AST}=90^0$ . Αφιερωμένη στον εξαίρετο και ακούραστο γεωμέτρη Νίκο Φραγκάκη !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 12:13 pm
Καθετότητα λόγω προόδου.pngΟι πλευρές : , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Επί των πλευρών , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Δείξτε ότι : $\widehat{AST}=90^0$ . Αφιερωμένη στον εξαίρετο και ακούραστο γεωμέτρη Νίκο Φραγκάκη !

Ευχαριστώ τον Θανάση που σαν έξοχος μουσικοσυνθέτης μας παρέχει συνεχώς : "Γεωμετρικές μελωδίες"

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 12:13 pm
Οι πλευρές : , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Επί των πλευρών , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Δείξτε ότι : $\widehat{AST}=90^0$ .[/size]

Οι πλευρές είναι $c, \, b=c+d, \, a=c+2d$ . Από τον νόμο των συνημιτόνων είναι

$\displaystyle{\cos B = \frac {1}{2} \frac {c^2+2cd+3d^2}{c(c+2d)}$ και άρα από το τρίγωνο ABS

η τιμή αυτή του $\cos B$ δίνει

$\displaystyle{AS^2 = \frac { c(c^2+2cd-3d^2)}{c+2d}}$ .

Πάλι από τον νόμο των συνημιτόνων είναι

$\displaystyle{\cos C = \frac {1}{2} \frac {c+5d}{c+2d}}$ και άρα από το τρίγωνο CST

η τιμή αυτή του $\cos C$ δίνει

$\displaystyle{ST^2= \frac { 3d^2c}{c+2d}}$ .

Παρατηρούμε τώρα ότι $\displaystyle{AS^2+ST^2= \frac { c(c^2+2cd-3d^2)}{c+2d}+ \frac { 3d^2c}{c+2d}= c^2=AT^2}$ , και Πυθαγόρειο.

#4

: καθετότητα λόγω προόδου.png (19.62 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Έστω

το μέσο του

. Θέτω $TC = k\, \Rightarrow SC = 2k\,\,\,\,,k > 0$ . Επίσης θεωρώ $AB = BS = TA = 2u\,\,,u > 0$ .

Αφού $\boxed{\frac{{BS}}{{SC}} = \frac{{2u}}{{2k}} = \frac{u}{k} = \frac{{MT}}{{TC}}} \Rightarrow \boxed{ST//BM}$ .

Από την άλλη μεριά : $\boxed{\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{2u + 2k}}{{2u}} = \frac{{u + k}}{u} = \frac{{MC}}{{MA}}}$ .

Άρα η

είναι διχοτόμος στο $\vartriangle ABC$ συνεπώς και φορέας της διχοτόμου από το

του ισοσκελούς τριγώνου BAS

..

Δηλαδή $BM \bot AS$ . Άρα η

θα είναι κάθετη στην παράλληλη της

δηλαδή $AS \bot ST$

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 12:13 pm
Καθετότητα λόγω προόδου.pngΟι πλευρές : , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Επί των πλευρών , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Δείξτε ότι : $\widehat{AST}=90^0$ . Αφιερωμένη στον εξαίρετο και ακούραστο γεωμέτρη Νίκο Φραγκάκη !

Εστω οτι η ευθεία

τέμνει την προέκταση της πλευράς

στο σημείο

τότε στο τρίγωνο ABC

με διατέμνουσα LST

$\dfrac{a-c}{c}.\dfrac{LB}{LB+c}.\dfrac{c}{b-c}=1\Leftrightarrow \dfrac{LB}{LB+c}=\dfrac{b-c}{a-c}\Leftrightarrow \dfrac{LB}{LB+c}=\dfrac{b-c}{2b-2c}\Leftrightarrow LB=c, AB=BS=LB\Leftrightarrow \hat{ASL}=90^{0}$

Γιάννης

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 12:13 pm
Καθετότητα λόγω προόδου.pngΟι πλευρές : , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Επί των πλευρών , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Δείξτε ότι : $\widehat{AST}=90^0$ . Αφιερωμένη στον εξαίρετο και ακούραστο γεωμέτρη Νίκο Φραγκάκη !

: Καθετότητα λόγω προόδου.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

Stewart στο ABC:

$\boxed{A{S^2}(2x + c) = {c^3} + 2x{c^2} - 3{x^2}c}$ (1)

Stewart στο ASC:

$\boxed{S{T^2}(x + c) = A{S^2}x + 3{x^2}c - x{c^2}}$ (2)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1)

και

$\displaystyle (A{S^2} + S{T^2})(x + c) = {c^2}(x + c) \Leftrightarrow$ $\boxed{AS^2+ST^2=c^2}$

nickchalkida · #7

Λύση παρόμοια με του άλλου Νίκου (Δόλορου)
αλλά περιοριστική ως προς το είδος του τριγώνου (6-7-8)... (Η λύση του Νίκου Δόλορου είναι πιο γενική)

Ας υποθέσουμε ότι οι πλευρές του τριγώνου είναι όροι αριθμητικης προόδου ως ακολούθως
AB=12w

,

και

. Θα είναι τότε TC=2w

και

.

Αν

το μεσο της

θα είναι

.

Η

τώρα είναι διχοτόμος της $\angle B$ διότι

$\displaystyle{ \frac{BC}{BA} = \frac{ZC}{ZA} = \frac{4}{3} }$

Επειδή όμως το τρίγωνο ABS

είναι ισοσκελές η

είναι και ύψος, οπότε $AS \perp BZ$ .
Είναι όμως και $BZ \parallel ST$ διότι

$\displaystyle{ \frac{ZT}{TC} = \frac{BC}{SC} = 3 }$

Επομένως θα είναι τελικά $AS \perp ST$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 12:13 pm
Καθετότητα λόγω προόδου.pngΟι πλευρές : , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Επί των πλευρών , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Δείξτε ότι : $\widehat{AST}=90^0$ . Αφιερωμένη στον εξαίρετο και ακούραστο γεωμέτρη Νίκο Φραγκάκη !

Έστω $\displaystyle \omega$ η διαφορά της προόδου. Τότε $\displaystyle b = c + \omega$ και $\displaystyle a = c + 2\omega$ ,άρα, $\displaystyle TC = \omega$ και $\displaystyle CS = 2\omega$

Με $\displaystyle BD = BS = AB \Rightarrow DA \bot AS$ .Αλλά $\displaystyle \frac{{CT}}{{TA}} = \frac{\omega }{c}$ και $\displaystyle \frac{{CS}}{{SD}} = \frac{{2\omega }}{{2c}} = \frac{\omega }{c}$

,οπότε $\displaystyle \frac{{CT}}{{TA}} = \frac{{CS}}{{SD}} \Rightarrow TS//AD \Rightarrow \boxed{TS \bot AS}$

: καθετότητα λόγω προόδου.png (32.17 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #9

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σε όλους! Μια ακόμη παραλλαγή:

: Καθετότητα λόγω προόδου.PNG (8.2 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

Έστω

το μέσον του

και $CP \perp AS$ . Τότε $\dfrac{AS}{SP}=\dfrac{2NS}{SP}=2\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{AT}{TC}$ άρα $ST\parallel CP \Rightarrow ST\perp AS$ .
Φιλικά Γιώργος.

KARKAR · #10

: Γεωμετρική.png (6.8 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Τι θα γίνει αν οι πλευρές είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ; Το λογισμικό δείχνει

ότι η γωνία $\widehat{AST}$ είναι πάντα αμβλεία , αλλά όχι μεγαλύτερη των 93.7290452508^0

,

κάτι που επιτυγχάνεται για λόγο $\lambda =1.390091$ . Δεν πιστεύω να ασχοληθείτε

Καθετότητα λόγω προόδου

Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Μέλη σε σύνδεση