Μήκος τμήματος-15.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Μήκος τμήματος-15.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Ιαν 26, 2019 7:35 pm

1.png
1.png (12.76 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος x=AE, αν BC=6 (E, A, D συνευθειακά).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μήκος τμήματος-15.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 26, 2019 9:29 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:35 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος x=AE, αν BC=6 (E, A, D συνευθειακά).
Καλησπέρα Φάνη.

Έστω, ότι η μεσοκάθετος της BC τέμνει την BA στο O.

Εύκολα έχουμε ότι \angle BOC=120^\circ=2\angle BEC, και αφού το O είναι στην μεσοκάθετο της BC, θα είναι και το περίκεντρο του EBC, δηλαδή OE=OB=OC.

Είναι, \angle OCA=\angle ACB-\angle OCB=30^\circ \Rightarrow OC=2OA και OC=\dfrac{2AC\sqrt{3}}{3}.

Όμως, AC=BC/2=3, άρα OE=OB=OC=\sqrt{12}.

Οπότε, από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο \vartriangle OEA έχει \angle EAO=180^\circ-\angle BAD=120^\circ,OA=\sqrt{3}, AE=x.

Οπότε, με Ν. Συνημιτόνων στο τρίγωνο αυτό (ή αλλιώς) παίρνουμε, 12=x^2+3+x\sqrt{3} \Rightarrow x^2+x\sqrt{3}-9=0 \Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt{3}}{2}, και τελειώσαμε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 331
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Μήκος τμήματος-15.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Ιαν 27, 2019 12:57 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:35 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος x=AE, αν BC=6 (E, A, D συνευθειακά).
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Μήκος τμήματος -15.png
Μήκος τμήματος -15.png (57.68 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχουμε AC=3, αφού \widehat{ABC}=30^o.
Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο ADC έχουμε DC=\dfrac{3}{2} και AD=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} .
Άρα και BD=\dfrac{9}{2}
Προεκτείνω την AC προς το μέρος του A και θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα AH=AC=3.
Συνεπώς το τρίγωνο HBC είναι ισόπλευρο. Επομένως το τετράπλευρο BHEC είναι εγγράψιμο
επειδή το ευθύγραμμο τμήμα BC φαίνεται υπό ίσες γωνίες .
Έστω AE=x και DZ=y
Από θεώρημα τεμνουσών έχουμε
α) CD\cdot BD=DZ\cdot DE \Leftrightarrow \dfrac{27}{4}= y\left ( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} +x\right ) (1)
β) AC\cdot AH=AE\cdot AZ \Leftrightarrow  9 =x \left ( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} +y\right ) (2)
Λύνοντας ως προς  y την (1) και αντικαθιστώντας στην (2) προκύπτει η εξίσωση :x^2+\sqrt{3}x-9=0.
Λύση η : x=\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt{3}}{2}.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήκος τμήματος-15.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 27, 2019 7:48 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:35 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος x=AE, αν BC=6 (E, A, D συνευθειακά).
Μήκος τμήματος 15.png
Μήκος τμήματος 15.png (16.97 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές
\displaystyle (EBC) = \frac{1}{2} \cdot 6\left( {x + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}EB \cdot EC\sin 60^\circ  = \frac{3}{2}(2x + 3\sqrt 3 ) \Leftrightarrow \boxed{\frac{{EB \cdot EC}}{2} = 2x\sqrt 3  + 9} (1)

\displaystyle EZ \cdot EB = EA \cdot EH \Leftrightarrow \frac{{EB \cdot EC}}{2} = x(x + 3\sqrt 3 )\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} {x^2} + x\sqrt 3  - 9 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \boxed{x = \frac{{\sqrt {39}  - \sqrt 3 }}{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μήκος τμήματος-15.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 27, 2019 7:53 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:35 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος x=AE, αν BC=6 (E, A, D συνευθειακά).

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC εύκολα έχουμε \displaystyle AB = 3\sqrt 3 ,AC = 3 .

Ακόμη,είναι προφανής η ισότητα των γωνιών \displaystyle \phi

Έστω \displaystyle EB = m,EC = n.Με ν.συνημιτόνου στο \displaystyle \vartriangle BEC \Rightarrow {m^2} + {n^2} - mn = 36(1)

\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = {\left( {\frac{{BA}}{{AC}}} \right)^2} = 3.Άρα \displaystyle BD = \frac{9}{2},DC = \frac{3}{2}

\displaystyle E{D^2} = {m^2} - \frac{{81}}{4} = {n^2} - \frac{9}{4} \Rightarrow 2{m^2} - 2{n^2} = 36(2) κι από \displaystyle (1), \displaystyle (2) έχουμε

\displaystyle 2{m^2} - 2{n^2} = {m^2} + {n^2} - mn \Rightarrow {m^2} + mn - 3{n^2} = 0 \Rightarrow {k^2} + k - 3 = 0 \Rightarrow \boxed{k = \frac{{\sqrt {13}  - 1}}{2}} όπου \displaystyle k = \frac{m}{n}

Ισχύει , \displaystyle \frac{{\left( {BEA} \right)}}{{\left( {EAC} \right)}} = \frac{{BD}}{{DC}} = 3 και \displaystyle \frac{{\left( {BEA} \right)}}{{\left( {EAC} \right)}} = \frac{{m \cdot 3\sqrt 3 }}{{x \cdot n}} = 3 \Rightarrow x = \frac{m}{n}\sqrt 3  = k\sqrt 3  \Rightarrow \boxed{x = \sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt {13}  - 1}}{2}}
mt15.png
mt15.png (21.01 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης