Τετράγωνο και βαρύκεντρο
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Τετράγωνο και βαρύκεντρο
στο Αν είναι το μέσο του να δείξετε ότι και ότι είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο
Γιώργο καλησπέρα,
Εστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με κέντρο το μέσο του . Ετσι για τις κορυφές του τετραγώνου έχουμε:
Οι δύο κύκλοι έχουν τις εξισώσεις:
(διαμέτρου )
o κύκλος
Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε τις συντεταγμένες του κοινού σημείου . Τώρα έχουμε:
Ευκολα βλέπουμε ότι
Τέλος που σημαίνει ότι το είναι το βαρύκεντρο του
Να σημειώσω τέλος ότι η λύση αυτή δεν μου άρεσε και θα προτιμούσα μια αμιγώς γεωμετρική.
Εστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με κέντρο το μέσο του . Ετσι για τις κορυφές του τετραγώνου έχουμε:
Οι δύο κύκλοι έχουν τις εξισώσεις:
(διαμέτρου )
o κύκλος
Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε τις συντεταγμένες του κοινού σημείου . Τώρα έχουμε:
Ευκολα βλέπουμε ότι
Τέλος που σημαίνει ότι το είναι το βαρύκεντρο του
Να σημειώσω τέλος ότι η λύση αυτή δεν μου άρεσε και θα προτιμούσα μια αμιγώς γεωμετρική.
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο
george visvikis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 08, 2019 6:44 pmΤετράγωνο και βαρύκεντρο.png
Με διάμετρο την πλευρά τετραγώνου γράφουμε ημικύκλιο εντός του τετραγώνου που τέμνει τον κύκλο
στο Αν είναι το μέσο του να δείξετε ότι και ότι είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Άρα, οπότε
που αποδεικνύει το ζητούμενο
Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο
Και μια γεωμετρική λύση:
Προεκτείνουμε την η οποία προφανώς τέμνει την στο αντιδιαμετρικό του λόγω του ότι .
κάθετη στην
Τα τρίγωνα είναι όμοια (ορθογώνια και μια γωνία ίση) με την μία κάθετη πλευρά να είναι διπλάσια της άλλης (με βάση το .
Εχουμε ότι γιατί:
, και την περιεχόμενη γωνία ίση. Αρα
δηλ. διάμεσος του .
Επίσης άρα η διέρχεται από το μέσο της διάμεσος του.
Αρα το ως σημείο τομής δύο διαμέσων είναι το βαρύκεντρο του
Προεκτείνουμε την η οποία προφανώς τέμνει την στο αντιδιαμετρικό του λόγω του ότι .
κάθετη στην
Τα τρίγωνα είναι όμοια (ορθογώνια και μια γωνία ίση) με την μία κάθετη πλευρά να είναι διπλάσια της άλλης (με βάση το .
Εχουμε ότι γιατί:
, και την περιεχόμενη γωνία ίση. Αρα
δηλ. διάμεσος του .
Επίσης άρα η διέρχεται από το μέσο της διάμεσος του.
Αρα το ως σημείο τομής δύο διαμέσων είναι το βαρύκεντρο του
- Συνημμένα
-
- ορθογωνιο2.png (106.2 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο
Καλημέρα! Γιώργο , Αλέξανδρε και Μιχάλη χαιρετώ. Ωραίο θέμα προσφέρεται για ποικιλία προσεγγίσεων!
Το είναι το μέσον του και η τομή των . Τα ισαπέχουν από τα άρα η μεσοκάθετος του
Οι οξείες είναι ίσες έχοντας κάθετες πλευρές , για τον ίδιο λόγο
Έχουμε οπότε και από τα ίσα τρίγωνα έπεται .
Ακόμη και δηλ. στο τρίγωνο η διάμεσος με το βαρύκεντρο του τριγώνου.
Φιλικά Γιώργος.
Οι οξείες είναι ίσες έχοντας κάθετες πλευρές , για τον ίδιο λόγο
Έχουμε οπότε και από τα ίσα τρίγωνα έπεται .
Ακόμη και δηλ. στο τρίγωνο η διάμεσος με το βαρύκεντρο του τριγώνου.
Φιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Ratio και 7 επισκέπτες