Ασυμμετρία και καθετότητα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1038
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ασυμμετρία και καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Φεβ 28, 2019 5:26 pm

Χαιρετώ. Μια σύνθεση άλλων (γνωστών) θεμάτων :
Ασυμμετρία και καθετότητα.PNG
Ασυμμετρία και καθετότητα.PNG (9.71 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει \widehat{A}=90^{0} και έστω E,Z οι επαφές του έγκυκλου αυτού με τις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Επί της διχοτόμου της \widehat{A} θεωρούμε το σημείο I ώστε να ισχύει 2AE\cdot \left ( BIC \right )=BC\cdot BE\cdot CZ

Ο περίκυκλος του ABC τέμνει τις BI,CI στα M,N αντίστοιχα.

Ι) Να εξεταστεί αν τα μήκη των BC,MN είναι ασύμμετρα (ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός) και II) Να εξεταστεί αν ισχύει AI \perp MN
Ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3952
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ασυμμετρία και καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μαρ 02, 2019 12:31 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 5:26 pm
Χαιρετώ. Μια σύνθεση άλλων (γνωστών) θεμάτων :
Ασυμμετρία και καθετότητα.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει \widehat{A}=90^{0} και έστω E,Z οι επαφές του έγκυκλου αυτού με τις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Επί της διχοτόμου της \widehat{A} θεωρούμε το σημείο I ώστε να ισχύει 2AE\cdot \left ( BIC \right )=BC\cdot BE\cdot CZ

Ο περίκυκλος του ABC τέμνει τις BI,CI στα M,N αντίστοιχα.

Ι) Να εξεταστεί αν τα μήκη των BC,MN είναι ασύμμετρα (ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός) και II) Να εξεταστεί αν ισχύει AI \perp MN
Ευχαριστώ, Γιώργος.
Όμορφη επιλογή του ονόματος I Γιώργο, αν είχε και δείκτη το a ;) θα ήταν ακόμα πιο όμορφο! . Θα περιμένω μέχρι αύριο βράδυ και θα απαντήσω αν δεν απαντηθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Altrian
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ασυμμετρία και καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Μαρ 02, 2019 12:53 pm

Καλημέρα Γιώργο και Στάθη.

Ι) 2AE(BIC)=BC*BE*CZ\Rightarrow 2x(BIC)=(k+y)ky.....[1]

Από π.θ. στο \triangle ABC\rightarrow (x+y)^{2}+(x+k)^{2}=(y+k)^{2}\Rightarrow yk=x(x+y+k).....[2]

Από τις [1],[2] παίρνουμε: 2(BIC)=(y+k)(x+y+k)\Rightarrow IP=x+y+k.

Στην προέκταση της OH παίρνω τμήμα HF=IP=x+y+k.
Από δύναμη του σημείου H (σχέση [2]) προκύπτει ότι τα B,O,C,I,F είναι ομοκυκλικά με διάμετρο του κύκλου την OI.
Επειδή O έκκεντρο του\triangle ABC\Rightarrow \angle BOC=90+\angle A/2=90+45=135
BOCI εγγεγραμμένο \rightarrow \angle BOC+\angle BIC=180\Rightarrow \angle BIC=180-135=45

Επειδή MC κάθετη στην BI\rightarrow\angle MCN=45.
Ετσι η BC είναι διάμετρος του κύκλου που διέρχεται από ταA,B,C και η MN χορδή που αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη γωνία 45

Αρα AB/MN=\sqrt{2} δηλαδή τα μήκη τους είναι ασύμμετρα.


ΙΙ)\angle OIC=45-\angle BIO=45-\angle BCO=45-\angle C/2

\angle MCB=\angle MCO-\angle BCO=45-\angle C/2

\angle MNI=\angle MBC λόγω του ότιBCMN εγγεγραμμένο.

Αρα τα τρίγωνα \triangle IQN\approx \triangle BMC είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες ίσες άρα θα έχουν και την τρίτη ίση που εδώ είναι ορθή. Αρα \angle NQI=90
Συνημμένα
ασυμμετρα.png
ασυμμετρα.png (41.16 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8207
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ασυμμετρία και καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 02, 2019 5:16 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 5:26 pm
Χαιρετώ. Μια σύνθεση άλλων (γνωστών) θεμάτων :
Ασυμμετρία και καθετότητα.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει \widehat{A}=90^{0} και έστω E,Z οι επαφές του έγκυκλου αυτού με τις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Επί της διχοτόμου της \widehat{A} θεωρούμε το σημείο I ώστε να ισχύει 2AE\cdot \left ( BIC \right )=BC\cdot BE\cdot CZ

Ο περίκυκλος του ABC τέμνει τις BI,CI στα M,N αντίστοιχα.

Ι) Να εξεταστεί αν τα μήκη των BC,MN είναι ασύμμετρα (ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός) και II) Να εξεταστεί αν ισχύει AI \perp MN
Ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλησπέρα σε όλους!

Έστω K το έγκεντρο, D το σημείο επαφής της BC με τον εγγεγραμμένο κύκλο, H η προβολή του I στη BC και P το σημείο

τομής των IA, MN. Έστω ακόμα s η ημιπερίμετρος του τριγώνου και r_a η ακτίνα του A- παρεγγεγραμμένου κύκλου.
Ασυμμετρία και καθετότητα.png
Ασυμμετρία και καθετότητα.png (22.72 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές
I) \displaystyle 2AE(BIC) = BC \cdot BE \cdot CZ \Leftrightarrow (BIC) = \frac{{a \cdot BD \cdot DC}}{{2(s - a)}} \Leftrightarrow \frac{{a \cdot IH}}{2} = \frac{{a \cdot BD \cdot DC}}{{2(s - a)}} \Leftrightarrow

\displaystyle IH(s - a) = BD \cdot DC = (ABC) \Leftrightarrow \boxed{IH=r_a} Άρα το I είναι το A- παράκεντρο του ABC και

B\widehat IC=45^\circ. Επειδή όμως το MCI είναι ορθογώνιο, θα είναι M\widehat CI=45^\circ και το MN είναι η πλευρά

τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας \dfrac{a}{2}. Επομένως, \displaystyle \frac{{BC}}{{MN}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{BC}}{{MN}} = \sqrt 2 } άρρητος.

ΙΙ) Από το εγγεγραμμένο BMNC και το εγγράψιμο BKCI οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, άρα και το BMPK

είναι εγγράψιμο, οπότε \boxed{P=90^\circ}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1038
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ασυμμετρία και καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Μαρ 06, 2019 12:01 am

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τον Στάθη για την ..ετοιμότητα να καλύψει το θέμα (που δεν χρειάστηκε)
και τους Αλέξανδρο και Γιώργο για τις θαυμάσιες λύσεις τους!
Λίγα λόγια για την δημιουργία , αλλά και συνοπτική λύση του θέματος με χρήση του σχήματος
Ασυμμετρία και καθετότητα Β.PNG
Ασυμμετρία και καθετότητα Β.PNG (15.21 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
Αφορμή ήταν η ιδιότητα του Α-παράκεντρου να έχει απόσταση (και) από την υποτείνουσα BC ίση με την ημιπερίμετρο του ABC.

Η σχέση  2AE\cdot \left ( BIC \right )=BC\cdot BE\cdot CZ δόθηκε για να προκύψει IH=h=\tau αφού ισχύει BE\cdot CZ=\left ( BAC \right )=\tau \cdot \rho =\tau \cdot AE.

Θέτοντας το I πάνω στην διχοτόμο της \widehat{A} γίνεται όπως εννοεί κι' ο Στάθης I_{a}. Εύκολα βρίσκουμε \widehat{BIC}=45^{0} και ότι MLN ορθ. και ισοσκελές
όπου L το μέσο της BC. Τότε MN=R\sqrt{2} ενώ BC=2R.

Ακόμη έχουμε \widehat{BLN}=180^{0}-2\omega =\widehat{ABC}\Rightarrow NL\parallel BA οπότε το τρίγωνο PNT έχει τις οξείες γωνίες του 45 άρες συνεπώς AI \perp MN
Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες