Λόγος και γωνία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9575
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος και γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 07, 2019 1:28 pm

Γωνία και λόγος..png
Γωνία και λόγος..png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές
Ο έγκυκλος ορθογωνίου τριγώνου ABC (\widehat A=90^\circ) εφάπτεται της AB στο D. Αν το συμμετρικό E του A

ως προς την DC είναι σημείο του κύκλου, να βρείτε τη γωνία A\widehat CD=\theta και το λόγο \dfrac{AC}{AB}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Λόγος και γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Μαρ 07, 2019 9:30 pm

Καλησπέρα!

Φέρω το τμήμα AD και T η τομή της EC με τον κύκλο,L η τομή της CD με τον κύκλο.

Φέρω τα τμήματα EL,DT που τέμνονται στο Z.

Προφανώς τος AEC είναι ισοσκελές.

Επειδή στο DEA είναι DC\perp EA και A συμμετρικό του E θα είναι DE\perp CE άρα και TL\perp DL

Τα τρίγωνα DEC,DAC είναι ίσα
\widehat{DTL}=\widehat{LDA} ως γωνία χορδής εφαπτομένης άρα \vartheta =90-\widehat{LDA}=90-\widehat{DTL}\Leftrightarrow \vartheta =\widehat{TDL}

Στο ορθογώνιο ADC είναι  AL=LC άρα
\widehat{ELD}=\widehat{DLA}=90-\widehat{EAL}=\widehat{EAD}+\widehat{LAC}=2\vartheta \Leftrightarrow \widehat{ETD}=2\vartheta
Και \widehat{EZT}=180-\dfrac{2\vartheta +4\vartheta }{2}=180-3\vartheta
Άρα \vartheta +2\vartheta +3\vartheta =90\Leftrightarrow \vartheta =15^{\circ}

Είναι BC^2=AC^2+AB^2=\left (AD+BD \right )^2+\left ( AD+CH \right )^2\Leftrightarrow BD^2+CH^2+2\cdot CH \cdot BD\cdotCH=2AD^2+BD^2+CH^2+2\cdot AD\cdot CH+2\cdot AD\cdot BD\Leftrightarrow \cdot BD\cdot CH=AD^2+AD\cdot BD\cdot AD\cdot CH\LeftrightarrowBD= \dfrac{AD^2+AD\cdot CH}{CH-AD}
Έχουμε AC=\dfrac{AD}{\tan15}\Leftrightarrow AD+CH=\dfrac{AD}{\tan15}\Leftrightarrow CH=\dfrac{AD-AD\cdot \tan15}{\tan15}
Άρα \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\dfrac{AD}{\tan15}}{AD+BD}=\dfrac{\dfrac{AD}{\tan15}}{AD+\dfrac{AD^2+AD\cdot CH}{CH-AD}}=\dfrac{\dfrac{AD}{\tan15}}{\dfrac{2\cdot AD\cdot CH}{CH-AD}}=..=\dfrac{1-2\tan15}{2\tan15\left ( 1-\tan15 \right )}=..=\dfrac{6-3\sqrt{3}}{18-10\sqrt{3}}
Συνημμένα
Capture.PNG52.PNG
Capture.PNG52.PNG (45.81 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7341
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος και γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 09, 2019 9:34 pm

Ας είναι :

I το έγκεντρο , T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου (I,r) με τις πλευρές BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC. Ακόμη έστω M το σημείο τομής της DC με τον κύκλο.

Το τετράπλευρο ADIZ είναι τετράγωνο και το \vartriangle IDE ισόπλευρο οπότε \widehat \omega  = \widehat {{\omega _1}} = 15^\circ \,\, και αφού \widehat \omega  = \widehat \theta ( οξείες με πλευρές κάθετες) θα είναι \boxed{\widehat \theta  = 15^\circ }.

Τώρα αβίαστα προκύπτουν ότι οι γωνίες \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} = 15^\circ ,

Επίσης το τρίγωνο AEM είναι ισόπλευρο , έστω πλευράς u. Θέτω BT = BD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = CZ = y.

Επειδή τα τρίγωνα AMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,IMC είναι της μορφής (150^\circ ,15^\circ ,15^\circ ) και το M μέσο του DC από το Θ συνημίτονου έχω :

Λόγος και γωνία.png
Λόγος και γωνία.png (50.1 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  {u^2} = {r^2}(2 + \sqrt 3 ) \hfill \\ 
  {b^2} = {u^2}(2 + \sqrt 3 ) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{b = r(2 + \sqrt 3 )}\,\,\,(1)

Από την άλλη μεριά : C{Z^2} = CM \cdot CD \Rightarrow {y^2} = 2{u^2} \Rightarrow \boxed{y = u\sqrt 2 }\,\,(2)

Επειδή (ABC) = TB \cdot TC \Rightarrow bc = 2xy και λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) θα έχω ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  y = u\sqrt 2  \hfill \\ 
  c = x + r = \frac{{bc}}{{2y}} + r \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{c = r\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 2} \right)}\,\,(3) . Από τις (1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) προκύπτει:

\boxed{\frac{b}{c} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{4}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9575
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος και γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 10, 2019 11:07 am

Ας το δούμε διαφορετικά.
Γωνία και λόγος.ΙΙ.png
Γωνία και λόγος.ΙΙ.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
\displaystyle DA = DE = r, η DF είναι διάμετρος του κύκλου, DF||AC ως κάθετες στην AB, άρα \displaystyle D\widehat FE = 30^\circ  \Leftrightarrow \boxed{\theta=15^\circ}

\displaystyle \tan 15^\circ  = \frac{r}{b} \Leftrightarrow r = b(2 - \sqrt 3 ),r = s - a \Rightarrow b(2 - \sqrt 3 ) = \frac{{b + c - \sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{2} \Leftrightarrow

\displaystyle c - b(3 - 2\sqrt 3 ) = \sqrt {{b^2} + {c^2}}  \Leftrightarrow \frac{b}{c} = \frac{{2(2\sqrt 3  - 3)}}{{4(3\sqrt 3  - 5)}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{b}{c}=\frac{3+\sqrt 3}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης