Σελίδα 1 από 1

Για εξετάσεις - Θέμα Δ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 18, 2019 1:55 pm
από george visvikis
Θέμα Δ..png
Θέμα Δ..png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές
Η μεσοκάθετος της πλευράς BC τριγώνου ABC τέμνει την AC στο D και είναι AD=9, DC=7. Αν η BD διχοτομεί την \widehat B,

α) Nα δείξετε ότι τα τρίγωνα ABD, ABC είναι όμοια και ότι AB=12 ..... (9 M)

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ABD ............ (5 M)

γ) Να δείξετε ότι \displaystyle \cos \frac{B}{2} = \frac{2}{3} .................. (5 M)

δ) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων BC, DM ............... (6 M)



Αφήνεται ένα 24ωρο στους μαθητές.

Re: Για εξετάσεις - Θέμα Δ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 18, 2019 5:34 pm
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Γειά σας !
α) Τα ABD και ABC έχουν : \widehat{A} κοινή, \widehat{ADB}=\widehat{DBC}=\widehat{C} αφού BD διχοτόμος και το DBC ισοσκελές, άρα όμοια.
Είναι \dfrac{AB}{16}=\dfrac{9}{AB}\Leftrightarrow AB^{2}=144\Leftrightarrow AB=12

B)Απο τον Ήρωνα έχουμε \displaystyle{\left (ABD \right )=\sqrt{14\left ( 14-9 \right )\left ( 14-7 \right )\left ( 14-12 \right )}=\sqrt{980}}=14\sqrt{5}


γ) Είναι \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{DC}{AD}\Leftrightarrow BC=\dfrac{7\cdot 12}{9}=\dfrac{28}{3}

\cos \dfrac{B}{2}=cos\widehat{DBC}=\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{\dfrac{BM}{2}}{7}=\dfrac{\dfrac{14}{3}}{7}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}

δ) BC=\dfrac{28}{3} και DM=\sqrt{BD^{2}-\left ( \dfrac{BC}{2} \right )^{2}}=\sqrt{49-\left ( \dfrac{14}{3} \right )^{2}}=\dfrac{\sqrt{245}}{3}=\dfrac{7\sqrt{5}}{3}

Re: Για εξετάσεις - Θέμα Δ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 18, 2019 8:37 pm
από kfd
β)Το D ως σημείο της διχοτόμου της γωνίας Β ισαπέχει από τις πλευρές του, άρα το ύψος του τριγώνου ΑΒD το αντίστοιχο της ΑΒ είναι το DM.