Επιστροφή στις ρίζες

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10765
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επιστροφή στις ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 28, 2019 2:26 pm

Επιστροφή  στις  ρίζες.png
Επιστροφή στις ρίζες.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0 ) , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται

από τις κορυφές B ,C και το μέσο M της AC , εφάπτεται της AB στο B .

α) Δείξτε ότι η διάμεσος AN είναι κάθετη στην BM .

β) Υπολογίστε την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την υποτείνουσα BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 373
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Επιστροφή στις ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Μαρ 28, 2019 3:39 pm

Γεια σας,
α)
Είναι \widehat{ABM}=\widehat{C}\Leftrightarrow \widehat{ABM}+B=90^{\circ}\Leftrightarrow AN\perp MB

β)

\dfrac{MB}{\sin \widehat{C}}=2R\Leftrightarrow R=\dfrac{MB}{2\sin\widehat{C}}=\dfrac{MB\cdot a}{2c}

ON=\sqrt{\dfrac{MB^2\cdot a^2}{4c^2}-\dfrac{a^2}{4}} =\dfrac{ab}{4c}=\dfrac{b}{4}\cdot \dfrac{1}{\cos \widehat{B}}=\dfrac{b}{4}\cdot \dfrac{2MB}{b}=\dfrac{MB}{4}\Leftrightarrow ON=\dfrac{MB}{2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιστροφή στις ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 28, 2019 4:55 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 28, 2019 2:26 pm
Επιστροφή στις ρίζες.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0 ) , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται

από τις κορυφές B ,C και το μέσο M της AC , εφάπτεται της AB στο B .

α) Δείξτε ότι η διάμεσος AN είναι κάθετη στην BM .

β) Υπολογίστε την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την υποτείνουσα BC .
Αλλιώς για το β)
Επιστροφή στις ρίζες..png
Επιστροφή στις ρίζες..png (12 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Είναι, \displaystyle c^2 = AM \cdot AC = \frac{{{b^2}}}{2} \Leftrightarrow \boxed{b=c\sqrt 2} (1) Αλλά τα τρίγωνα ONB, ABC είναι όμοια, απ' όπου:

\displaystyle \frac{x}{c} = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow x = \frac{{ac}}{{2b}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{x = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επιστροφή στις ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 29, 2019 12:07 pm

α ) \widehat {{\theta _1}} = \widehat \theta \,\,(2), γιατί NA = NB

και \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,(3) , χορδή κι εφαπτομένη στο άκρο της . Από τις (2),\,\,(3) έχω:

\widehat {{\theta _3}} = \widehat \theta και αφού \widehat {{\theta _3}} + \widehat \omega  = 90^\circ  \Rightarrow \widehat \theta  + \widehat \omega  = 90^\circ  \Rightarrow BM \bot AN
Επιστροφή στις ρίζες_new.png
Επιστροφή στις ρίζες_new.png (25.92 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές
β) Ας είναι T το σημείο τομής της BC με τη μεσοκάθετο του MC.

Θα είναι \left\{ \begin{gathered} 
  BN = \frac{a}{2} \hfill \\ 
  NT = TC = \frac{a}{4} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Επειδή O{N^2} = NB \cdot NT \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{8} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10765
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Επιστροφή στις ρίζες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 29, 2019 2:17 pm

Ωραίες οι λύσεις αλλά ο στόχος ήταν τα τμήματα που θα βρείτε , να τα εκφράσετε

συναρτήσει του c και όχι του a . Υπάρχει κι ένας τίτλος που περιμένει δικαίωση :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης